Rühmoid

Rühmoid ehk grupoid on üldalgebras hulk ${\displaystyle M}$^[1] (rühmoidi kandja) koos sellel defineeritud üheainsa binaarse algebralise tehtega^[2] ${\displaystyle M\times M\rightarrow M}$. Tehte tulemid kuuluvad definitsiooni põhjal hulka ${\displaystyle M}$. Mingeid muid tingimusi tehtele ei esitata.

See artikkel räägib ühe binaarse algebralise tehtega hulgast; kategooriateooria mõiste kohta vaata artiklit Rühmoid (kategooria)

---

Tegemist on ühega kõige lihtsamini defineeritud universaalalgebrate klassidest.

Rühmoidi mõiste ning nimetuse Gruppoid võttis kasutusele Heinrich Brandt 1926. Nimetuse groupoid võttis kasutusele Øystein Ore. Jean-Pierre Serre hakkas neid oma loengutes Harvardi ülikoolis 1964. aastal nimetama magmadeks.^[3] See nimetus levis Nicolas Bourbaki ("Éléments de mathématique", köide "Algèbre", 1974) eeskujul. Sõna magma tähendab prantsuse keeles muu hulgas 'abstraktsete asjade segast ja lahtiharutamatut segu'.^[4] Veel on neid nimetatud operatiivideks ja binaarideks.

Rühmoidi üldistus on pseudorühmoid – hulk koos sellel defineeritud üheainsa osalise binaarse algebralise tehtega.

Rühmoidide klassid

Tavaliselt rühmoide üldisel kujul ei uurita, vaid lisatakse tehte omadusi täpsustavaid aksioome.

• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse assotsiatiivseks rühmoidiks ehk poolrühmaks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall {x},y,z\in M)(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$, st tema tehe on assotsiatiivne.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse ühikelemendiga rühmoidiks ehk ühikuga rühmoidiks ehk unitaarseks rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\exists e\in M)(\forall x\in M)e\cdot x=x\cdot e=x}$, st tema tehtel on neutraalne element (multiplikatiivse tähistuse puhul ühikelement, tähis 1; aditiivse tähistuse puhul nullelement, tähis 0).
• Rühmoidi nimetatakse mediaaliks parajasti siis, kui kehtib samasus ${\displaystyle x{\boldsymbol {y}}*{\boldsymbol {u}}z=x{\boldsymbol {u}}*{\boldsymbol {y}}z}$,
• Rühmoidi (M; ·) (multiplikatiivne tähistus) nimetatakse pöördelementidega rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle 1\in M\land (\forall x\in M)(\exists y\in M)x\cdot y=y\cdot x=1}$, st on olemas ühikelement ja igal elemendil on pöördelement.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse kommutatiivseks rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall x,y\in M)x\cdot y=y\cdot x}$, st tehe on kommutatiivne.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse vasakult taandamisega rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall x,y,z\in M)(z\cdot x=z\cdot y\Rightarrow x=y)}$.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse paremalt taandamisega rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall x,y,z\in M)(x\cdot z=y\cdot z\Rightarrow x=y)}$.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse taandamisega rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall x,y,z\in M)(z\cdot x=z\cdot y\Rightarrow x=y)\land (x\cdot z=y\cdot z\Rightarrow x=y)}$.
• Rühmoidi (M; ·) nimetatakse jagamisega rühmoidiks parajasti siis, kui ${\displaystyle (\forall x,y\in M)(\exists u,v\in M)(x\cdot u=y\land v\cdot x=y)}$.

Sagedamini vaadeldavad rühmoidide klassid on:

• kvaasirühmad: mittetühjad rühmoidid, milles on alati võimalikud vasakpoolne ja parempoolne jagamine;
• luubid: ühikelemendiga kvaasirühmad;
• poolrühmad: rühmoidid, mille tehe on assotsiatiivne;
• monoidid: ühikelemendiga poolrühmad;
• rühmad: pöördelementidega monoidid ehk assotsiatiivsed kvaasirühmad (mis osutuvad alati luupideks);
• Abeli rühmad: kommutatiivse tehtega rühmad.

Saab vaadelda ka kommutatiivseid poolrühmi ja kommutatiivseid monoide.

Näited

• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$: naturaalarvude hulk liitmisega (kommutatiivne monoid)
• (N, ·): naturaalarvude hulk korrutamisega (kommutatiivne monoid)
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,-)}$: täisarvude hulk lahutamisega (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne ühikelemendiga taandamisega jagamisega rühmoid)
• ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},/)}$: nullist erinevate reaalarvude hulk jagamisega (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne ühikelemendiga taandamisega jagamisega rühmoid)
• naturaalarvude hulk astendamisega, st tehtega ${\displaystyle a*b=a^{b}}$ (mittekommutatiivne mitteassotsiatiivne taandamisega rühmoid)
• reaalarvude hulk aritmeetilise keskmise võtmisega (kommutatiivne mitteassotsiatiivne taandamisega jagamisega rühmoid)

Mittenäited

• (N; –): naturaalarvude hulk lahutamisega (pseudorühmoid)
• (N; –): naturaalarvude hulk jagamisega (pseudorühmoid)

Mitmekordsed tehted ja sulud

Rühmoidi tehet võib sooritada mitu korda järjest. Et tehe ei ole üldjuhul assotsiatiivne, kasutatakse tehete sooritamise järjekorra näitamiseks sulgusid. Saadakse sõne, mis koosneb rühmoidi elemente tähistavatest sümbolitest ja tasakaalustavatest sulgudest. Kõikvõimalike tasakaalustavate sulgude sõnede hulka nimetatakse Dycki keeleks. Rühmoidi tehte n sooritamise järjekordade arv võrdub Catalani arvuga ${\displaystyle C_{n}}$. Näiteks ${\displaystyle C_{2}=2}$. Teiste sõnadega, ${\displaystyle (ab)c}$ on ${\displaystyle a(bc)}$ ainsad rühmoidi tehte kahe sooritamise järjekorrad kolme elemendiga.

Tähistuse lihtsustamiseks ja sulgude arvu vähendamiseks kasutatakse lisakokkuleppeid. Tehte sooritamise eelisjärjekorra märkimiseks kasutatakse tehtemärgi ärajätmist. Näiteks kui rühmoidi tehe on ${\displaystyle *}$, siis saab avaldise ${\displaystyle (x*y)*z}$ panna kirja lühemal kujul. Lühendamiseks saab kasutada ka tühikuid. Näiteks avaldise ${\displaystyle ((x*y)*z)*(w*v)}$ saab kirja panna kujul ${\displaystyle xy*z*wv}$. Keerukamate avaldiste puhul muidugi sulgudeta läbi ei saa. Sulgude alternatiiviks on küll näiteks prefikstähistus, kuid see on raskesti jälgitav.

Rühmoidide homomorfismid

 Pikemalt artiklis Rühmoidide homomorfism

Rühmoidide homomorfism ehk rühmoidide morfism on kujutus ${\displaystyle f:M\to N}$ rühmoidist ${\displaystyle M}$ rühmoidi ${\displaystyle N}$, mis säilitab rühmoidi tehte:

${\displaystyle f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}$,

kus ${\displaystyle *_{M}}$ on ${\displaystyle *_{N}}$ vastavalt rühmoidi ${\displaystyle M}$ ja rühmoidi ${\displaystyle N}$ tehe.

Vaba rühmoid

 Pikemalt artiklis Vaba rühmoid

Vaba rühmoidi mittetühjal hulgal ${\displaystyle X}$ moodustavad formaalsed avaldised, mis on saadud hulga ${\displaystyle X}$ elementide sümbolitest, millele on rakendatud rühmoidi tehet koos sulgudega. Olgu näiteks ${\displaystyle X=\{a,b,c\}.}$ Siis sisaldab vaba poolrühm üle ${\displaystyle X}$ muu hulgas elemente

${\displaystyle a,\,b,\,c,\,ab,\,ba,\,(ab)c,\,a(bc),\,(aa)(bb),\,(a(ab))b,\,(ab)(ab),}$ mis on kõik omavahel erinevad.

Formaalselt võib vaba poolrühma üle mittetühja hulga ${\displaystyle X}$ defineerida kui hulga, millesse kuuluvad kõik lõplikud binaarpuud koos iga lehe juurde kirjutatud hulga ${\displaystyle X}$ elemendiga. Kahe puu ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ korrutis ${\displaystyle AB}$ on puu, mille juurel on vasakpoolne alampuu ${\displaystyle A}$ ja parempoolne alampuu ${\displaystyle B}$.