Valikuaksioom

Valikuaksioom ehk valiku aksioom ehk Zermelo aksioom (inglise keeles axiom of choice, lühend AC) on hulgateooria aksioom, mille kohaselt mittetühjade hulkade mistahes süsteemi korral leidub kujutus, mis seab selle süsteemi igale hulgale vastavusse tema teatava esindaja.^[1]

Valikuaksioom on sõltumatu Zermelo-Fraenkeli hulgateooria teistest aksioomidest (aksiomaatikast ZF). Siinkohal tuleb rõhutada, et eristatakse Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat, mille aksiomaatikasse valikuaksioom ei kuulu (tähistatakse ZF), ja Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat, mille aksiomaatikasse valikuaksioom sisse on arvatud (tähistatakse ZFC).

Kui eeldada ZF aksioome, on valikuaksioom ekvivalentne nii Zermelo teoreemi kui ka Zorni lemmaga. Teisisõnu saab valikuaksioomi ZF-s tõestada, eeldades Zorni lemmat või Zermelo teoreemi, ja nii Zorni lemmat kui ka Zermelo teoreemi saab omakorda tõestada, tuginedes valikuaksioomile.^[2]

Kuigi valikuaksioomist tuleneb mõningaid intuitsioonivastaseid järeldusi (näiteks Banachi-Tarski paradoks), eeldab enamik matemaatikuid valikuaksioomi tõesust, et vältida matemaatika vaesustamist.

Valikuaksioomi sõnastas 1904 Ernst Zermelo, et formaliseerida Zermelo teoreemi tõestust.^[3]

Sõnastus

Valikufunktsioon on niisugune mittetühjade hulkade kogumil määratud funktsioon f, et iga kogumisse X elemendina kuuluva hulga s korral f(s) on hulga s element. Selle termini abil saab valikuaksioomi sõnastada nii:

Mis tahes mittetühjade hulkade hulga X korral eksisteerib hulgal X määratud valikufunktsioon f.

Valikuaksioomi eitus väidab niisiis, et eksisteerib mittetühjade hulkade hulk, millel ei ole valikfunktsiooni.

Viited

1. Kaasik, Ülo 2002. Matemaatikaleksikon.
2. Kilp M. (2005). Algebra I, lk 31. Eesti Matemaatika Selts.
3. Ernst Zermelo. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. – Mathematische Annalen, 1904, 59 (4), lk 514–516. Veebiversioon.