Déterminant fonctionnel
De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, il est parfois possible de généraliser la notion de déterminant d'une matrice carrée d'ordre fini (représentant une transformation linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie vers lui-même) au cas de dimension infinie d'un opérateur linéaire S mappant un espace fonctionnel V à lui-même. La quantité correspondante det(S) est appelée le déterminant fonctionnel de S.
Il existe plusieurs formules pour le déterminant fonctionnel. Ils sont tous basés sur le fait que le déterminant d'une matrice finie est égal au produit des valeurs propres de la matrice. Une définition mathématiquement rigoureuse est via la fonction zêta de l'opérateur ,
où tr représente la trace fonctionnelle : le déterminant est alors défini par
où la fonction zêta au point s = 0 est définie par prolongement analytique. Une autre généralisation possible, souvent utilisée par les physiciens lors de l'utilisation du formalisme d'intégrale de chemin de Feynman en théorie quantique des champs (QFT), utilise une intégrale fonctionnelle :
Cette intégrale de chemin n'est bien définie que jusqu'à une certaine constante multiplicative divergente. Pour lui donner un sens rigoureux, il doit être divisé par un autre déterminant fonctionnel, annulant ainsi effectivement les « constantes » problématiques.
Ce sont maintenant, ostensiblement, deux définitions différentes du déterminant fonctionnel, l'une provenant de la théorie quantique des champs et l'autre de la théorie spectrale. Chacun implique une sorte de régularisation : dans la définition populaire en physique, deux déterminants ne peuvent être comparés qu'entre eux ; en mathématiques, la fonction zêta a été utilisée. Osgood, Phillips & Sarnak (1988) ont montré que les résultats obtenus en comparant deux déterminants fonctionnels dans le formalisme de la théorie quantique des champs concordent avec les résultats obtenus par le déterminant fonctionnel zêta.