Notions caractérisant la dilation d'un endomorphisme, d'une matrice, facilitant leur étude

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En <a href="/fr/Mathématiques" title="Mathématiques" class="wl">mathématiques</a>, et plus particulièrement en <a href="/fr/Algèbre_linéaire" title="Algèbre linéaire" class="wl">algèbre linéaire</a>, le concept de vecteur propre est une notion <a href="/fr/Algèbre" title="Algèbre" class="wl">algébrique</a> s'appliquant à une <a href="/fr/Application_linéaire" title="Application linéaire" class="wl">application linéaire</a> d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les <a href="/fr/Vecteur" title="Vecteur" class="wl">vecteurs</a> par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions.

<figure class="mw-default-size mw-halign-right wiki-thumb"><a href="/fr/Fichier:Eigenvalue_equation.svg" class="mw-file-description image media-thumb" data-hash="Fichier:Eigenvalue_equation.svg"><img loading="lazy" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Eigenvalue_equation.svg/220px-Eigenvalue_equation.svg.png" decoding="async" data-file-width="500" data-file-height="400" data-file-type="drawing" height="176" width="220" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Eigenvalue_equation.svg/330px-Eigenvalue_equation.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Eigenvalue_equation.svg/440px-Eigenvalue_equation.svg.png 2x" alt="Eigenvalue_equation.svg"></a><figcaption>Fig. 1. A étire le vecteur x sans changer sa direction. x est un vecteur propre pour A, pour la valeur propre λ.</figcaption></figure>

La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. De plus, il existe de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire.

Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée <a href="/fr/Algèbre_linéaire" title="Algèbre linéaire" class="wl">algèbre linéaire</a>. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en <a href="/fr/Mathématiques_pures" title="Mathématiques pures" class="wl">mathématiques pures</a> qu'<a href="/fr/Mathématiques_appliquées" title="Mathématiques appliquées" class="wl">appliquées</a>. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des <a href="/fr/Forme_quadratique" title="Forme quadratique" class="wl">formes quadratiques</a>, ou en <a href="/fr/Analyse_fonctionnelle_(mathématiques)" title="Analyse fonctionnelle (mathématiques)" class="wl">analyse fonctionnelle</a>. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une <a href="/fr/Corde_vibrante" title="Corde vibrante" class="wl">corde vibrante</a>, le classement des pages web par <a href="/fr/PageRank" title="PageRank" class="wl">Google</a>, la détermination de la structure de l'<a href="/fr/Espace-temps" title="Espace-temps" class="wl">espace-temps</a> en théorie de la <a href="/fr/Relativité_générale" title="Relativité générale" class="wl">relativité générale</a>, ou l'étude de l'<a href="/fr/Équation_de_Schrödinger" title="Équation de Schrödinger" class="wl">équation de Schrödinger</a> en <a href="/fr/Mécanique_quantique" title="Mécanique quantique" class="wl">mécanique quantique</a>.

<div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information" about="#mwt1"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Pour un article synthétique sur le sujet ne traitant que du contenu mathématique, voir&nbsp;: <a href="/fr/Valeur_propre_(synthèse)" title="Valeur propre (synthèse)" class="wl">Valeur propre (synthèse)</a>.</div></div>

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions. La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. De plus, il existe de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire. Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google, la détermination de la structure de l'espace-temps en théorie de la relativité générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique. 