Anneau topologique

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée^[1] et la multiplication soient continues.

Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse^[2].

Ces structures étendent la notion de groupe topologique.

Exemples

• Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
• L'ensemble des applications d'un ensemble ${\displaystyle X}$ vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble ${\displaystyle X}$ est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compacte-ouverte.
• Toute algèbre normée est un anneau topologique.
• Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
• Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.

Topologie I-adique

Étant donné un anneau commutatif ${\displaystyle R}$ et un idéal ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle R}$, la topologie ${\displaystyle I}$-adique de ${\displaystyle R}$ est définie par la base de voisinages en chaque point ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle R}$ de la forme : ${\displaystyle x+I^{n}}$, où ${\displaystyle n}$ décrit tous les entiers naturels.

Cette topologie fait de l'anneau ${\displaystyle R}$ un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal ${\displaystyle I}$ est réduite à l'élément nul :

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}=\{0\}}$.

Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :

pour tous ${\displaystyle x}$ ≠ ${\displaystyle y}$ éléments de ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle d(x,y)=1/2^{k}}$

où ${\displaystyle k}$ est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence ${\displaystyle x-y}$.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal ${\displaystyle I}$ des multiples entiers de ${\displaystyle p}$.

Complétion d'un anneau métrisable

Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, les opérations s'étendent continûment (de façon unique) à sa complétion métrique, qui devient ainsi son anneau complété (en).