Groupe triangulaire

En mathématiques, un groupe triangulaire est un groupe réalisable géométriquement par des successions de réflexions par rapport aux côtés d'un triangle. Ce triangle peut être un triangle euclidien ordinaire, un triangle sur la sphère ou un triangle hyperbolique.

Chaque groupe triangulaire est le groupe de symétrie d'un pavage du plan euclidien, de la sphère ou du plan hyperbolique par des triangles congruents appelés triangles de Möbius, chacun constituant un domaine fondamental pour l'action du groupe.

Définition

Soient ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle n}$ des entiers supérieurs à 1. Un groupe triangulaire ${\displaystyle \Delta (l,m,n)}$, ou simplement ${\displaystyle (l,m,n)}$, est un groupe de transformations du plan euclidien, de la sphère bidimensionnelle, du plan projectif réel ou du plan hyperbolique engendré par les réflexions par rapport aux côtés d'un triangle d'angles ${\displaystyle {\frac {\pi }{l}}}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{m}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$.

Propriétés

Le produit des réflexions par rapport à deux côtés est une rotation d'un angle égal au double de l'angle entre ces côtés, soit ${\displaystyle {\frac {2\pi }{l}}}$, ${\displaystyle {\frac {2\pi }{m}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$. Si l'on note ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ ces réflexions génératrices et 1 l'identité, alors :

${\displaystyle a^{2}=b^{2}=c^{2}=1}$

${\displaystyle (ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1}$

On peut démontrer que toutes les autres relations entre ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ sont des conséquences de ces deux relations, et que ${\displaystyle \Delta (l,m,n)}$ est un groupe discret d'isométries de l'espace correspondant. Un groupe triangulaire est ainsi un groupe de réflexion (en) admettant la présentation :

${\displaystyle \Delta (l,m,n)=\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1\rangle }$

Un groupe abstrait ayant cette présentation est un groupe de Coxeter à trois générateurs.

Le groupe modulaire PSL(2, ℤ) peut être considéré comme le groupe triangulaire ${\displaystyle \Delta (2,3,\infty )}$^[1].

Classification

Pour tout triplet ${\displaystyle (l,m,n)}$ d'entiers naturels supérieurs à 1, l'une des trois géométries bidimensionnelle classiques (euclidienne, sphérique ou hyperbolique) admet un triangle d'angles ${\displaystyle {\frac {\pi }{l}}}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{m}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$, et l'espace est pavé par les réflexions de ce triangle.

La somme des angles du triangle détermine le type de géométrie selon le théorème de Gauss-Bonnet : euclidienne si cette somme est égale à ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1\right)}$, sphérique si elle est supérieure ${\displaystyle \left({\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}>1\right)}$ et hyperbolique si elle est inférieure ${\displaystyle \left({\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}<1\right)}$. De plus, deux triangles quelconques ayant les angles donnés sont congruents. Chaque groupe de triangles détermine un pavage, conventionnellement coloré en deux couleurs de sorte que deux pavés adjacents quelconques soient de couleurs différentes.