Intégrale en log-sinus

En analyse, les intégrales de log-sinus (log-sine integrals) désignent la suite de fonctions

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Ls} _{n}(t)=-\int _{0}^{t}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1}\,\mathrm {d} \theta }$

Ces fonctions sont liées à de nombreuses fonctions spéciales, comme la fonction Gamma d'Euler.

Propriétés

Quasi-périodicité

Les intégrales en log-sinus sont quasi périodiques :

${\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\operatorname {Ls} _{n}(2k\pi )=2k\operatorname {Ls} _{n}(\pi )}$

Valeurs spéciales en π

Les valeurs des intégrales en π sont liées par une forme de récurrence avec la constante d'Apéry :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ls} _{2}(\pi )=0,&\qquad \operatorname {Ls} _{3}(\pi )=-{\frac {\pi ^{3}}{12}},\\\operatorname {Ls} _{4}(\pi )={\frac {3}{2}}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{5}(\pi )=-{\frac {19}{240}}\pi ^{5},\\\operatorname {Ls} _{6}(\pi )={\frac {45}{2}}\zeta (5)+{\frac {5}{4}}\pi ^{3}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{7}(\pi )=-{\frac {275}{1344}}\pi ^{7}-{\frac {45}{2}}\pi \zeta (3)^{2}\\\operatorname {Ls} _{8}(\pi )={\frac {2835}{4}}\pi \zeta (7)+{\frac {315}{8}}\pi ^{3}\zeta (5)+{\frac {133}{32}}\pi ^{5}\zeta (3),&\qquad \ldots \end{aligned}}}$

Pour leur calcul, on établit la relation suivante^[1],[2]:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Ls} _{n+1}(\pi ){\frac {x^{n}}{n!}}=-\pi {\frac {\Gamma (1+x)}{\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})^{2}}}}$

On en tire l'égalité :

${\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=-\pi {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left.\exp \left(\sum _{k=2}^{+\infty }(-1)^{k}\eta (k){\frac {x^{k}}{k}}\right)\right|_{x=0}}$

avec η, la fonction êta de Dirichlet.

Démonstration

On considère la fonction intégrale :

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }\exp \left[x\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)\right]\mathrm {d} \theta }$

Le développement en série entière de la fonction exponentielle permet d'établir :

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{n}\mathrm {d} \theta =-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\operatorname {Ls} _{n}(\pi )}$

D'un autre côté, avec la formule de duplication :

${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }2^{x}\sin ^{x}{\frac {\theta }{2}}\mathrm {d} \theta =2^{x+1}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{x}\theta \,\mathrm {d} \theta =2^{x}\mathrm {B} ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{2}})=\pi {\frac {\Gamma (1+x)}{\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})^{2}}}}$

On calcule maintenant la dérivée n-ième de la dérivée logarithmique de cette dernière expression, qui fait apparaitre les fonctions polygamma, dont on calcule la valeur en 0 :

${\displaystyle (\ln \circ I)^{(n)}(0)=\lim _{x\longrightarrow 0}\left(\psi _{n-1}(1+x)-{\frac {1}{2^{n-1}}}\psi _{n-1}(1+{\tfrac {x}{2}})\right)=(-1)^{n}\;(n-1)!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{n}}}-{\frac {(-1)^{n}(n-1)!}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{n}}}=(-1)^{n}\;(n-1)!\eta (n)}$

Le développement en série entière en 0 s'écrit donc :

${\displaystyle (\ln \circ I)(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(\ln \circ I)^{(n)}(0){\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\eta (n){\frac {x^{n}}{n}}.}$

Ce qui permet de conclure.

Valeurs spéciales en π/2

• ${\displaystyle \operatorname {Ls} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$ (constante de Catalan),

Liens avec les autres fonctions spéciales

La fonction intégrale en log-sinus pour n = 2 est une fonction de Clausen :

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\operatorname {Ls} _{2}(t)=\operatorname {Cl} _{2}(t)}$

Les intégrales en log-sinus apparaissent dans les valeurs de la dérivée de la fonction bêta :

${\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[2^{x}\mathrm {B} \left({\frac {x+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]\right|_{x=0}}$

Extensions

Intégrales en log-sinus-cosinus

Lewin a également étudié le cas des intégrales en log-sinus-cosinus (log-sine-cosine integrals) :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Lsc} _{m,n}(t)=\int _{0}^{t}\left(\ln \left|2\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{m-1}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1}\,\mathrm {d} \theta }$

en établissant que

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Lsc} _{m+1,n+1}(\pi ){\frac {x^{m}}{m!}}{\frac {y^{n}}{n!}}=-2^{x+y}\mathrm {B} ({\frac {1+x}{2}},{\frac {1+y}{2}})}$

Intégrales généralisées

Les intégrales en log-sinus généralisées (généralized log-sine integrals) sont données par :

${\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Ls} _{n}^{(k)}(t)=-\int _{0}^{t}\theta ^{k}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1-k}\,\mathrm {d} \theta }$

Elles sont liées aux fonctions polylogarithmes et aux fonctions de Glaisher-Clausen.

On a :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {(-2)^{k-1}}{(k-2)!}}\operatorname {Ls} _{k}^{(1)}({\frac {\pi }{3}}).}$

Applications

Ces intégrales apparaissent dans plusieurs champs des mathématiques et de la physique. Les intégrales de log-sinus et log-sinus-cosinus apparaissent dans le calcul des termes de haut degré du développement en epsilon de plusieurs diagrammes de Feynman^[3]. En théorie des nombres, elles permettent d'exprimer des classes de sommes binomiales inverses^[4].