Desigualdade triangular

En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.

Triángulo.

Enunciados

En xeometría

Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades:

• ${\displaystyle AB\leqslant AC+CB}$;
• ${\displaystyle AC\leqslant AB+BC}$;
• ${\displaystyle BC\leqslant BA+AC}$.

A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: ${\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB\leqslant AC+CB}$.

A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous^[1].

O caso da igualdade na segunda desigualdade sería:

${\displaystyle AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}$. 

Para os números complexos

Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar

• ${\displaystyle x={\text{afixo de }}{\overrightarrow {AC}}}$
• ${\displaystyle y={\text{afixo de }}{\overrightarrow {CB}}}$

Obtemos esta formulación equivalente.

Para ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$, temos :

• ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$;
• ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$ .

Xeneralización a espazos prehilbertianos

Sexa ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$ un espazo prehilbertiano real. Denotamos ${\displaystyle \|\cdot \|}$ como a norma asociada ao produto escalar. Para ${\displaystyle (x,y)\in E^{2}}$, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:

• ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|}$ ;
• ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}\setminus \{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x}$ ( ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ relacionados positivamente).

(Todo espazo pre-hilbertiano complexo ${\displaystyle (E,\langle \cdot |\cdot \rangle ')}$ é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar ${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\mathrm {Re} (\langle x|y\rangle ')} , que induce a mesma norma que o produto hermitiano ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle '}$.)

Punto de vista axiomático

Sexa E un conxunto e ${\displaystyle d:E\times E\to \mathbb {R} ^{+}}$. Dicimos que d é unha distancia en E se:

• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$

A terceira propiedade require que para que ${\displaystyle d}$ sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:

• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)}$

e máis xeralmente, para calquera parte A non baleira de E, ${\displaystyle |d(x,A)-d(y,A)|\leqslant d(x,y)}$ (ver " Distancia").

Reciprocamente, ${\displaystyle |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)\Longrightarrow d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$ .

Todo espazo vectorial normado ${\displaystyle (E,\|~\|)}$, especialmente ${\displaystyle (\mathbb {C} ,|~|)}$, está naturalmente provisto dunha distancia ${\displaystyle d}$, definido por ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$, para o que o incremento ${\displaystyle |d(x,0)-d(y,0)|\leqslant d(x,y)}$ reescríbese:

• ${\displaystyle {\Big |}\|x\|-\|y\|{\Big |}\leqslant \|x-y\|}$ .

Desigualdade triangular xeneralizada

Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.

En xeometría, isto dá :

${\displaystyle A_{1}A_{n}\leqslant A_{1}A_{2}+\cdots A_{n-1}A_{n}}$, sendo o caso de igualdade para ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ na mesma recta nesta orde.

Para complexos, isto dá :

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|}$ , sendo o caso de igualdade se ${\displaystyle z_{1}\neq 0}$: ${\displaystyle z_{k}/z_{1}}$ é un real estritamente positivo para ${\displaystyle k=1\cdots n}$.

Para un espazo vectorial normado:

${\displaystyle \|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\|\leqslant \|x_{1}\|+\|x_{2}\|+\cdots +\|x_{n}\|}$ .

Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os ${\displaystyle x_{k}}$ vinculados positivamente de dous en dous.

Desigualdade triangular para integrais

Se ${\displaystyle f}$ é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo ${\displaystyle [a,b],a<b}$, con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón^[2]:

${\displaystyle \left\Vert \int _{a}^{b}f(x)dx\right\Vert \leqslant \int _{a}^{b}\left\Vert f(x)\right\Vert dx}$

Sendo o caso de igualdade se ${\displaystyle f}$ é continua con valores complexos: hai unha constante ${\displaystyle k}$ de módulo 1 tal que ${\displaystyle f=k|f|}$ en ${\displaystyle [a,b]}$.

No caso real, isto é equivalente a que ${\displaystyle f}$ sexa de signo constante en ${\displaystyle [a,b]}$.