Dominio euclidiano

En matemáticas, máis concretamente en álxebra abstracta e teoría de aneis, un dominio euclidiano ou anel euclidiano (normalmente abreviado DE ) é un anel conmutativo no que se pode definir unha función euclidiana que permite xeneralizar a noción de división euclidiana habitual nos enteiros. Este algoritmo euclidiano xeneralizado pode usarse para os mesmos propósitos que o algoritmo euclidiano orixinal sobre o anel de enteiros: nun dominio euclidiano este algoritmo pódese usar para calcular o máximo común divisor de dous elementos calquera. En particular, o máximo común divisor de dous elementos sempre existe -o que xeralmente non é certo para un anel arbitrario- e pódese expresar como unha combinación linear deles (identidade de Bezout).^[1] Ademais, todo ideal dun dominio euclidiano é principal,^[2] o que implica que o teorema fundamental da aritmética pode ser xeneralizado: cada dominio euclidiano é un dominio de factorización única .^[3]

Definición

Un dominio euclidiano é un par ${\displaystyle (A,\phi )}$ onde ${\displaystyle A}$ É un dominio de integridade e ${\displaystyle \phi }$ é unha aplicación ${\displaystyle \phi :A\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}}$ que reúne as dúas condicións seguintes:^[4]

1. Para calquera ${\displaystyle a,b\in A}$ tal que ${\displaystyle b\neq 0}$ é certo que existen ${\displaystyle q,r\in A}$ para que

(1)

${\displaystyle a=bq+r}$; \ tal que ${\displaystyle r=0}$, ou ben ${\displaystyle \ \phi (r)<\phi (b)}$

2 Para dous elementos calquera ${\displaystyle a,b\in A\setminus \{0\}}$ :

(2)

${\displaystyle \phi (a)\leq \phi (a\cdot b)}$

os elementos ${\displaystyle q}$ e ${\displaystyle r}$ chámanse respectivamente cociente e resto, como na división habitual.

Algúns autores consideran que a segunda condición é redundante e pode omitirse da definición.^[5]

Terminoloxía

Varios autores fan referencia á función ${\displaystyle \phi }$, (que define un dominio euclidiano), con diferentes nomes: “aplicación (ou función) euclidiana”, “función de medida” (ou tamaño),^[6] “grao” ou “función norma”.^[7] Nalgúns contextos fálase da "norma euclidiana",^[8] aínda que este nome pode levar a confusión coa norma vectorial que define a distancia usual.

É importante ter en conta que a función norma só toma valores enteiros, aínda que nalgún caso particular pode ampliarse ${\displaystyle \phi }$ ao conxunto completo de números reais.

Exemplos

Os seguintes son exemplos de aneis que son dominios euclidianos:

• Se tomamos o conxunto de números enteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e como norma euclidiana tomamos o valor absoluto ${\displaystyle |\cdot |}$, temos un dominio euclidiano, xa que ${\displaystyle |a|\leq |ab|}$ para todo ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ con ${\displaystyle b\neq 0}$. Usando esta definición, a propiedade (1) é equivalente ao algoritmo de división habitual entre números enteiros.

• En todo corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ pódese definir unha norma euclidiana, tomando esta como a función constante ${\displaystyle 1}$, xa que, para calquera elemento ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle \mathbb {K} }$, as dúas propiedades son satisfeitas dun xeito trivial, a saber:

1. tomando ${\displaystyle q=a/b}$ temos que ${\displaystyle r=0}$.
2. ${\displaystyle 1=\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)=1}$.

• Considerando o anel de polinomios nunha variable ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ con coeficientes nun corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ e como norma euclidiana a función

${\displaystyle \mathrm {grad}$ :\mathbb {K} [x]-\{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}}

que a todo polinomio distinto de cero de ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ asigna o seu grao, o resultado é un dominio euclidiano.

• no anel de enteiros gaussianos, se para cada elemento ${\displaystyle \alpha =a+bi}$, onde ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$, definimos a súa norma como ${\displaystyle N(\alpha )=a^{2}+b^{2}}$, temos un dominio euclidiano.

Os seguintes son exemplos de aneis que non son dominios euclidianos:

• En xeral, o anel de polinomios con coeficientes nun anel ${\displaystyle A}$ aínda que o propio ${\displaystyle A}$ é un dominio euclidiano. Por exemplo ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ non é un dominio euclidiano aínda que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ si o é. (A diferenza do caso xeral co exemplo no que o anel de polinomios si que é dominio euclidiano é que non temos definida unha norma que cumpra a condición requirida, que si cumpre a norma definida polo grao do polinomio).

Propiedades

Nun dominio euclidiano, a identidade multiplicativa, o elemento ${\displaystyle 1_{A}}$, sempre ten a menor norma posíbel, é dicir. ${\displaystyle \phi (1_{A})=1}$. Todas as unidades do anel teñen a mesma propiedade: ${\displaystyle \forall u\in A:u\ {\text{ é unidade }}\implies \phi (u)=1}$.^[9]

Todo dominio euclidiano ${\displaystyle A}$ cumpre as seguintes propiedades:

• Cada par de elementos ${\displaystyle a,b\in A}$ teñen o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor, e verifícase a identidade de Bezout.^[1]
• Todo ideal ${\displaystyle A}$ é principal, é dicir, ${\displaystyle A}$ é un dominio de ideais principais. ^[2]
• Todo elemento ${\displaystyle a\in A}$ ten unha descomposición única en factores irredutíbeis, é dicir, ${\displaystyle A}$ é un domino de factorización única . ^[3]
• Nun dominio euclidiano todo elemento irredutíbel é primo. ^[10]