Elemento cero

En matemáticas, un elemento cero é unha das varias xeneralizacións do número cero a outras estruturas alxébricas. Estes significados alternativos poden ou non reducirse ao mesmo, dependendo do contexto.

Identidades aditivas

Unha identidade aditiva é o elemento de identidade nun grupo aditivo ou monoide. Corresponde ao elemento 0 tal que para todos os x do grupo, 0 + x = x + 0 = x. Algúns exemplos de identidade aditiva inclúen:

• O vector cero baixo adición de vectores: o vector cuxos compoñentes son todos 0; nun espazo vectorial normado a súa norma (lonxitude) tamén é 0. Moitas veces denotado como ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ou ${\displaystyle {\vec {0}}}$.^[1] Exemplo para un vector de 3 dimensións: ${\displaystyle v=\{0,0,0\}}$.
• A función cero ou mapa cero definido por z(x) = 0, baixo a suma punto por punto (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• O conxunto baleiro baixo a unión de conxuntos
• Un obxecto inicial nunha categoría (un coproduto baleiro, e así unha identidade baixo coprodutos)

Elementos absorbentes

Un elemento absorbente nun semigrupo ou semianel multiplicativo xeneraliza a propiedade 0 ⋅ x = 0. Os exemplos inclúen:

• O conxunto baleiro, que é un elemento absorbente baixo o produto cartesiano de conxuntos, xa que { } × S = { }
• A función cero ou mapa cero definido por z(x) = 0 baixo a multiplicación punto a punto (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

Obxectos cero

Un obxecto cero nunha categoría é tanto un obxecto inicial como un obxecto terminal (e polo tanto unha identidade tanto en produtos como en coprodutos). Por exemplo, a estrutura trivial (que contén só a identidade) é un obxecto cero en categorías onde os morfismos deben mapear identidades con identidades. Exemplos específicos inclúen:

• O grupo trivial, que contén só a identidade (un obxecto cero na categoría de grupos)
• O módulo cero, que contén só a identidade (un obxecto cero na categoría de módulos sobre un anel)

Elementos menores

Un elemento menor dun conxunto ou retícula parcialmente ordenada pode ás veces denominarse elemento cero e escribirse como 0 ou ⊥.

Módulo cero

En matemáticas, o módulo cero é o módulo que consiste só na identidade aditiva para a función de suma do módulo. Nos enteiros, esta identidade é cero, o que dá o nome de módulo cero. Que o módulo cero é de feito un módulo é sinxelo de demostrar; péchase en suma e multiplicación trivialmente.

Ideal cero

En matemáticas, o ideal cero nun anel ${\displaystyle R}$ é o ideal ${\displaystyle \{0\}}$ consistente só na identidade aditiva (ou elemento cero). O feito de que este sexa un ideal dedúcese directamente da definición.

Matriz cero

En matemáticas, particularmente en álxebra linear, unha matriz cero é unha matriz con todas as súas entradas sendo cero. Desígnase alternativamente co símbolo ${\displaystyle O}$.^[2] Algúns exemplos de matrices cero son

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

O conxunto de matrices m × n con entradas nun anel K forman un módulo ${\displaystyle K_{m,n}}$.

A matriz cero é a identidade aditiva en ${\displaystyle K_{m,n}}$. É dicir, para todos os ${\displaystyle A\in K_{m,n}}$ :

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

Tensor cero

En matemáticas, o tensor cero é un tensor, de calquera orde, cuxos compoñentes son cero. O tensor cero de orde 1 coñécese ás veces como vector cero.