Fórmula de Leibniz para π

En matemáticas, a fórmula de Leibniz para π (tamén serie de Leibniz), que recibe o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz, da o valor de pi cuartos como serie alternada

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}.}$

Fórmula de Leibniz para π
Instancia de serie alternada algoritmo de aproximación
Epónimo Gottfried Wilhelm Leibniz
Fórmula ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}}$
Fontes e ligazóns
MathWorld GregorySeries
[ Wikidata ]

Ás veces chámase a serie Madhava-Leibniz xa que foi descuberta por primeira vez polo matemático indio Madhava de Sangamagrama ou os seus seguidores entre os séculos XIV e XV,^[1] e posteriormente foi redescuberta independentemente por James Gregory en 1671 e Leibniz en 1673. A serie de Taylor para a función da tanxente inversa, a miúdo chamada serie de Gregory, é

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$

A fórmula de Leibniz é o caso especial ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$^[2]

Tamén é a serie L de Dirichlet do carácter de Dirichlet non principal módulo 4 avaliado en ${\displaystyle s=1,}$ e polo tanto o valor β(1) da función beta de Dirichlet.

Probas

Proba 1

Consideramos a seguinte descomposición:

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}$

Para |x| < 1, a fracción da dereita é a suma dos termos restantes da serie xeométrica.

Agora aplicaremos esa descomposición á integral do arcotanxente.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$

Considerando só a integral do último termo, temos:

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ cando }}n\rightarrow \infty .}$

Polo tanto, cando n → ∞, ficamos coa serie de Leibniz:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$

Proba 2

Sexa ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$, cando ${\displaystyle |z|<1}$, a serie ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$ converxe uniformemente, entón

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$

Polo tanto, se ${\displaystyle f(z)}$ aproxima ${\displaystyle f(1)}$ de tal xeito que é continua e converxe uniformemente, a demostración é completa, onde, a serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ converxe polo test de Leibniz.

Converxencia

A fórmula de Leibniz converxe moi lentamente: presenta converxencia sublinear. Calcular π a 10 decimais correctos mediante a suma directa da serie require precisamente cinco mil millóns de termos porque 4/2k + 1 < 10⁻¹⁰ para k > 2 × 10¹⁰ − 1/2.

Para obter 4 cifras decimais correctas (erro de 0.00005) necesítanse 5000 termos.^[3]

No entanto, a fórmula de Leibniz pódese usar para calcular π con alta precisión (centos de díxitos ou máis) utilizando varias técnicas aceleración da converxencia. Por exemplo, pódense aplicar efizcamente a transformación de Shanks, a transformación de Euler ou a transformación de Van Wijngaarden, que son métodos xerais para series alternadas. A maiores, a combinación de termos por parellas dá a serie non alternada

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}.}$

Produto de Euler

A fórmula de Leibniz pódese interpretar como unha serie de Dirichlet usando o único carácter de Dirichlet non principal módulo 4. Como con outras series de Dirichlet, isto permite converter a suma infinita nun produto infinito cun termo para cada número primo. Este produto chámase produto de Euler:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$

Neste produto, cada termo é unha razón superparticular, cada numerador é un número primo impar e cada denominador é o múltiplo de 4 máis próximo ao numerador. O produto é condicionalmente converxente; os seus termos deben tomarse por orde crecente de p.