Funcións trigonométricas inversas

En matemáticas, as funcións trigonométricas inversas (tamén chamadas funcións arco^[1]) son as funcións inversas das funcións trigonométricas, baixo dominios debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións seno, coseno, tanxente, cotanxente, secante e cosecante,^[2] e úsanse para obter un ángulo a partir de calquera das razóns trigonométricas do ángulo. As funcións trigonométricas inversas úsanse amplamente en enxeñaría, navegación, física e xeometría.

Notación

Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.

Véxase tamén: Funcións trigonométricas.

Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc.^[3] (Esta convención úsase ao longo deste artigo).

Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas: ao medir en radiáns, un ángulo de θ radiáns corresponderá a un arco cuxa lonxitude é rθ, onde r é o raio da circunferencia. Así, na función da circunferencia goniométrica, o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é x" é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é x", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns.^[4]

Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas ${\displaystyle \operatorname {asin} ,\operatorname {acos} ,\operatorname {atan} }$.^[5]

As notacións ${\displaystyle \sin ^{-1}(x),\cos ^{-1}(x),tan^{-1}(x)}$, etc., introducidas por John Herschel en 1813, ^[6][7] utilízanse a miúdo,^[3] que é útil (por exemplo) para definir o multivalor de cada función trigonométrica:

${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}.}$

Isto pode parecer entrar en conflito loxicamente coa semántica común para expresións como sin²(x) ou sin² x, que se refiren á potencia numérica e non á composición de funcións e, polo tanto, pode producir confusión entre a notación para o recíproco (inverso multiplicativo) e a función inversa.

Polo tanto, desde 2009, o estándar ISO 80000-2 especificou unicamente o prefixo "arc" para as funcións inversas.

Conceptos básicos

Os puntos etiquetados como 1, Sec(θ), Csc(θ) representan a lonxitude do segmento de liña desde a orixe ata ese punto. Sin(θ), Tan(θ) e 1 son as alturas da liña que comeza no eixo x, mentres que Cos(θ), 1 e Cot(θ) son lonxitudes ao longo do eixo x que comezan desde a orixe.

Valores principais

Dado que ningunha das seis funcións trigonométricas é un a un, deben estar restrinxidas para ter funcións inversas. Polo tanto, o rango de resultados das funcións inversas son subconxuntos dos dominios das funcións orixinais.

Por exemplo, empregando función no sentido de funcións multivaloradas, do mesmo xeito que a función raíz cadrada ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ podería definirse a partir de ${\displaystyle y^{2}=x,}$, a función ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$ defínese de xeito que ${\displaystyle \sin(y)=x.}$

Para un número real dado ${\displaystyle x,}$ con ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$ hai múltiples (de feito, infinitos numerábeis moitos) números ${\displaystyle y}$ tal que ${\displaystyle \sin(y)=x}$; por exemplo, ${\displaystyle \sin(0)=0,}$ mais tamén ${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$ etc. Cando só se desexa un valor, a función pode restrinxirse á súa rama principal. Con esta restrición, para cada ${\displaystyle x}$ do dominio, a expresión ${\displaystyle \arcsin(x)}$ hase avaliar só a un único valor, chamado valor principal. Estas propiedades aplícanse a todas as funcións trigonométricas inversas.

As principais inversas están listadas na seguinte táboa.

Nome	Notación habitual	Definición	Dominio de x para un resultado real	Intervalo do valor principal habitual (radiáns)	Intervalo do valor principal habitual (graos)
arco seno	y = arcsin(x)	x = sin(y)	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arco coseno	y = arccos(x)	x = cos(y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arco tanxente	y = arctan(x)	x = tan(y)	todos os números reais	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arco cotanxente	y = arccot(x)	x = cot(y)	todos os números reais	0 < y < π	0° < y < 180°
arco secante	y = arcsec(x)	x = sec(y)	|x| ≥ 1	0 ≤ y < π/2 ou π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° ou 90° < y ≤ 180°
arco cosecante	y = arccsc(x)	x = csc(y)	|x| ≥ 1	−π/2 ≤ y < 0 ou 0 < y ≤ π/2	−90° ≤ y < 0 ou 0° < y ≤ 90°

Se se permite que x sexa un número complexo, entón o intervalo de y aplícase só á súa parte real.

Solucións de ecuacións trigonométricas elementais

Cada unha das funcións trigonométricas é periódica na parte real do seu argumento, percorrendo todos os seus valores dúas veces en cada intervalo de ${\displaystyle 2\pi }$:

• O seno e a cosecante comezan o seu período en ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ (onde ${\displaystyle k}$ é un número enteiro), rematan en ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ e teñen os opostos entre ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ a ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• O coseno e a secante comezan o seu período en ${\displaystyle 2\pi k,}$ rematan en ${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$ E teñen os opostos en ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ ata ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• A tanxente comeza o seu período en ${\textstyle 2\pi k-{\frac {pi}{2}},}$ remata en ${\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}},}$ e despois repíteo entre ${\textstyle 2\pi k+{\frac {pi}{2}}}$ ata ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• A cotanxente comeza o seu período en ${\displaystyle 2\pi k,}$ remata en ${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$ e despois repíteo entre ${\displaystyle 2\pi k+\pi }$ e ${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

Esta periodicidade reflítese nos inversos en xeral, onde ${\displaystyle k}$ é algún número enteiro.

A seguinte táboa mostra como se poden usar as funcións trigonométricas inversas para resolver igualdades que inclúen as seis funcións trigonométricas estándar. Suponse que os valores dados ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$ e ${\displaystyle y}$ atópanse todos dentro de intervalos apropiados para que as expresións relevantes a continuación estean ben definidas. Teña en conta que "para algúns ${\displaystyle k\in Z}$" é só outra forma de dicir "para algúns números enteiros ${\displaystyle k}$".

O símbolo ${\displaystyle ,\iff ,}$ é a igualdade lógica e indica que se o lado esquerdo é verdadeiro, entón tamén o é o lado dereito e, pola contra, se o lado dereito é verdadeiro, o lado esquerdo tamén o é.

Ecuación	se e só se	Solución
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \arcsin(y)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \tan \theta =s}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \arctan(s)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cot \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

Por exemplo, se ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ entón ${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$ para algúns ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$ Mentres que se ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$ entón $=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)$ para algúns ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$ onde ${\displaystyle k}$ será par se ${\displaystyle \sin \theta =1}$ e será impar se ${\displaystyle \sin \theta =-1.}$ As ecuacións ${\displaystyle \sec \theta =-1}$ e ${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ teñen as mesmas solucións que ${\displaystyle \cos \theta =-1}$ e ${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$ respectivamente.

En todas as ecuacións anteriores agás as que se acaban de resolver (é dicir, agás ${\displaystyle \sin }$/${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$ e ${\displaystyle \cos }$/${\displaystyle \sec \theta =-1}$), o enteiro ${\displaystyle k}$ na fórmula está unicamente determinado por ${\displaystyle \theta }$ (para ${\displaystyle r,s,x,}$ e ${\displaystyle y}$ fixos).

Transformando ecuacións

As ecuacións anteriores pódense transformar usando as identidades de reflexión e desprazamento:^[8]

Transforming equations by shifts and reflections

Argument: ${\displaystyle {\underline {\;~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\theta }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle \pi \pm \theta }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle 2k\pi \pm \theta ,}$ ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$
${\displaystyle \csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$
${\displaystyle \cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$
${\displaystyle \sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$
${\displaystyle \tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$
${\displaystyle \cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$

onde trocando ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$ trocando ${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$ e trocando ${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$ dá as ecuacións análogas para ${\displaystyle \csc ,\sec ,\cot ,}$ respectivamente.

Así, por exemplo, usando a igualdade ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ a ecuación ${\displaystyle \cos \theta =x}$ pódese transformar en ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ o que permite usar a solución da ecuación ${\displaystyle$ ;\sin \varphi =x;} (onde ${\textstyle \varphi$ :={\frac {\pi }{2}}-\theta } ); esa solución é: ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k;{\text{ para algún }}k\in Z,}$ que pasa a ser:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ para algún }}k\in Z}$

onde úsase o feito de que ${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$ e substituíndo ${\displaystyle h:=-k}$ demostra que outra solución a ${\displaystyle$ ;\cos \theta =x;} é:

${\displaystyle \theta =(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ para algún }}h\in Z.}$

A substitución ${\displaystyle \arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x;}$ pódese usar expresando o lado dereito da fórmula anterior en termos de ${\displaystyle \arccos x;}$ en lugar de ${\displaystyle \arcsin x.}$

Relacións entre funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas

As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude ${\displaystyle x}$, despois aplicando o Teorema de Pitágoras e as definicións das razóns trigonométricas.

Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que ${\displaystyle x}$ é positivo e, polo tanto, o resultado ten que ser corrixido mediante o uso de valor absoluto e a operación signo (sgn).

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$	Diagrama
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Relacións entre as funcións trigonométricas inversas

Os valores principais habituais das funcións arcsin(x) (vermello) e arccos(x) (azul) representados no plano cartesiano.

Os valores principais habituais das funcións arctan(x) e arccot(x) representadas gráficamente no plano cartesiano.

Valores principais das funcións arcsec(x) e arccsc(x) representadas gráficamente no plano cartesiano.

Ángulos complementarios:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos negativos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

Argumentos recíprocos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ se }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ se }}x<0\end{aligned}}}$

As identidades anteriores pódense usar polo feito de ${\displaystyle \sin }$ e ${\displaystyle \csc }$ seren recíprocas (é dicir, ${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{sin}}}$), como o son ${\displaystyle \cos }$ e ${\displaystyle \sec ,}$ e ${\displaystyle \tan }$ e ${\displaystyle \cot }$.

Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ se }}0\leq x\leq 1{\text{ , do que obtemos}}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ se }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).

Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Obtense ao recoñecer que ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$.

Da fórmula do ángulo metade, ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$, obtemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$.

Fórmula de adición arctanxente

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Isto derívase da fórmula da suma de ángulos da tanxente

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

sendo

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

En cálculo

Derivadas de funcións trigonométricas inversas

Artigo principal: Diferenciación de funcións trigonométricas.

As derivadas para valores complexos de z son as seguintes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Só para valores reais de x:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Só para valores reais de x:

Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións trigonométricas. Por exemplo, se ${\displaystyle x=\sin \theta }$, logo ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$ e por tanto

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Expresión como integrais definidas

Integrando a derivada e fixando o valor nun punto dáse unha expresión para a función trigonométrica inversa como unha integral definida:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Cando x é igual a 1, as integrais con dominios non limitados son integrais impropias, mais aínda así están ben definidas.

Serie infinita

Similar ás funcións seno e coseno, as funcións trigonométricas inversas tamén se poden calcular usando series de potencias, como se indica a continuación.

Para o arcoseno, a serie pódese obter expandindo a súa derivada, ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$, como serie binomial, e integrando termo por termo (usando a definición integral como se indica arriba). A serie para arcotanxente pódese obter de xeito similar expandindo a súa derivada ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ nunha serie xeométrica, e aplicando a definición integral anterior (ver series de Leibniz).

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

As series para as outras funcións trigonométricas inversas pódense dar en función destas segundo as relacións indicadas anteriormente. Por exemplo, ${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$, ${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$, etc. Outra serie vén dada por:^[9]

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Leonhard Euler atopou unha serie para o arcotanxente que converxe máis rápido que a súa Serie de Taylor:

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[10]

(O termo da suma para n = 0 é o produto vacío, polo que é 1).

Alternativamente, isto pódese expresar como

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

Outra serie para a función arcotanxente vén dada por

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

onde ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ é a unidade imaxinaria.^[11]

Fraccións continuadas para arcotanxente

Dúas alternativas á serie de potencias para arcotanxente son estas fraccións continuas xeneralizadas:

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

A segunda delas é válida no corte do plano complexo. Hai dous cortes, de −i ata o punto do infinito, baixando polo eixo imaxinario, e desde i ata o punto do infinito, subindo no mesmo eixo. Funciona mellor para números reais que van de −1 a 1. Os denominadores parciais son os números naturais impares e os numeradores parciais (despois do primeiro) son só (nz)², e cada cadrado perfecto aparece unha vez.

A primeira foi desenvolvida por Leonhard Euler; a segunda por Carl Friedrich Gauss utilizando a serie hiperxeométrica de Gauss.

Integrais indefinidas de funcións trigonométricas inversas

Para valores reais e complexos de z:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

Para x real ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Para todos os x reais non comprendidos entre -1 e 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

O valor absoluto é necesario para compensar os valores tanto negativos como positivos das funcións arcosecante e arcocosecante. A función signo tamén é necesaria debido aos valores absolutos nas derivadas das dúas funcións, que crean dúas solucións diferentes para valores positivos e negativos de x.

Estas poden simplificarse aínda máis usando as definicións logarítmicas das funcións hiperbólicas inversas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

O valor absoluto no argumento da función arcosh crea unha metade negativa da súa gráfica, facéndoa idéntica á función logarítmica con signo mostrada anteriormente.

Todas estas antiderivadas pódense derivar usando integración por partes e as formas derivadas simples mostradas arriba.

Exemplo

Usando ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$ (é dicir, integración por partes), facemos

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

Daquela

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

que pola simple substitución ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$ dá o resultado final:

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$.

Extensión ao plano complexo

A Superficie de riemann para o argumento da relación tan z = x. A folla laranxa do medio é a folla principal que representa arctan x. A folla azul de arriba e a folla verde de abaixo están desprazadas por 2π e −2π respectivamente.

Dado que as funcións trigonométricas inversas son funcións analíticas, pódense estender desde a recta real ata o plano complexo. Isto resulta en funcións con varias follas e puntos de ramificación. Unha forma posíbel de definir a extensión é:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

onde a parte do eixo imaxinario que non se atopa estritamente entre os puntos de ramificación (−i e +i) é o corte de rama entre a folla principal e outras follas.

O camiño da integral non debe cruzar un corte de rama. Para un z que non está nun corte de rama, un camiño en liña recta de 0 a z é ese camiño. Para un z que esta nun corte de rama, o camiño debe achegarse desde Re[x] > 0 para o corte da rama superior e desde Re[x] < 0 para o corte da rama inferior.

A función arcoseno pódese definir como:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

onde (a función de raíz cadrada ten o seu corte ao longo do eixo real negativo e) a parte do eixo real que non se atopa estritamente entre −1 e +1 é a rama de corte entre a folla principal de ${\displaystyle \arcsin }$ e outras follas;

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {pi}{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

que ten o mesmo corte que ${\displaystyle \arcsin }$;

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

que ten o mesmo corte que ${\displaystyle \arctan }$;

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

onde a parte do eixo real entre −1 e +1 inclusive é o corte entre a folla principal de ${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$ e outras follas;

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

que ten o mesmo corte que ${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$.

Formas logarítmicas

Estas funcións tamén se poden expresar usando o logaritmo complexo. Isto estende o seu dominios ata o plano complexo dun xeito natural. As seguintes identidades para os valores principais das funcións cúmprense en todas as partes que se definen, mesmo nos seus cortes de rama.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Xeneralización

Dado que todas as funcións trigonométricas inversas producen un ángulo dun triángulo rectángulo, pódense xeneralizar usando a fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo no plano complexo. Alxebricamente, isto dános:

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

ou

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

onde ${\displaystyle a}$ é o lado adxacente, ${\displaystyle b}$ é o lado oposto e ${\displaystyle c}$ é a hipotenusa. A partir de aquí, podemos resolver para ${\displaystyle \theta }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

ou

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

Proba exemplo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

Usando a definición exponencial de seno e sendo ${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(escóllese a rama positiva)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

Gráficos de roda de cores de funcións trigonométricas inversas no plano complexo

${\displaystyle arcsin(z)}$	${\displaystyle arccos(z)}$	${\displaystyle arctan(z)}$

${\displaystyle arccsc(z)}$	${\displaystyle arcsec(z)}$	${\displaystyle arccot(z)}$

Aplicacións

Atopar o ángulo dun triángulo rectángulo

A triángulo rectángulo con lados relativos a un ángulo no punto ${\displaystyle A}$.

As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun triángulo rectángulo cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}}\right).}$

Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o teorema de Pitágoras: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$ onde ${\displaystyle h}$ é a lonxitude da hipotenusa. O arcotanxente é útil nesta situación, xa que non se precisa a lonxitude da hipotenusa.

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)}$.

Por exemplo, supoña que un tellado baixa 8 metros mentres avanza 20 metros. O tellado forma un ángulo θ coa horizontal, onde θ pódese calcular do seguinte xeito:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{oposto}}{\text{contiguo}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{baixa}}{\text{avanza}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

Función arcotanxente con parámetro de localización

En moitas aplicacións a solución ${\displaystyle y}$ da ecuación ${\displaystyle x=tan(y)}$ é aproximarse o máis posíbel a un valor dado ${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$. A solución adecuada prodúcese pola función arcotanxente modificada por un parámetro

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

A función ${\displaystyle \operatorname {rni} }$ redondea ao enteiro máis próximo.