Función gamma inversa

En matemáticas, a función gamma inversa ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$ é a función inversa da función gamma. Noutras palabras, ${\displaystyle y=\Gamma ^{-1}(x)}$ sempre que ${\textstyle \Gamma (y)=x}$. Por exemplo, ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}$.^[1] A función gamma inversa refírese normalmente á rama principal con dominio no intervalo real ${\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}$ e imaxe sobre o intervalo real ${\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}$, onde ${\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }$^[2] é o valor mínimo da función gamma no eixe real positivo e ${\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }$ é a localización dese mínimo.^[3]

</img>

Gráfica dunha función gamma inversa

</img>

Gráfica da función gamma inversa no plano complexo

Definición

Podemos definir a función gamma inversa coa seguinte representación integral^[4]$${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\,,}$$onde ${\displaystyle \mu (t)}$ é unha medida de Borel tal que$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \,,}$$e ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ son números reais con ${\displaystyle b\geqq 0}$.

Aproximación

Para calcular as ramas da función gamma inversa pódese calcular primeiro a serie de Taylor de ${\displaystyle \Gamma (x)}$ preto de ${\displaystyle \alpha }$. A serie pode logo ser truncada e invertida, o que produce sucesivamente mellores aproximacións ${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$. Por exemplo, temos a aproximación cadrática:^[5] $${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$$Tamén temos para a función gamma inversa a seguinte fórmula asintótica^[6] $${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\,,}$$onde ${\displaystyle W_{0}(x)}$ é a función W de Lambert. Esta fórmula conséguese invertendo a aproximación de Stirling, polo que tamén se pode expandir nunha serie asintótica.

Expansión en serie

Para obter unha expansión en serie da función gamma inversa pódese calcular primeiro a expansión en serie da función gamma recíproca ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}$ preto dos polos nos enteiros negativos, e despois inverter a serie.

Pondo ${\displaystyle z={\frac {1}{x}}}$ temos, para a rama n ${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}$ da función gamma inversa (${\displaystyle n\geq 0}$)^[7]$${\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)\,,}$$onde ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$ é a función poligamma.