Función medible

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

Definición

Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

• Sexan os espazos medíbeis ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ e ${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$, significando que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son conxuntos equipados con cadansúa ${\displaystyle \sigma }$-álxebras ${\displaystyle \Sigma }$ e ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ Unha función ${\displaystyle f:X\to Y}$ dise medíbel se para todo ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ a preimaxe de ${\displaystyle E}$ baixo ${\displaystyle f}$ está en ${\displaystyle \Sigma }$; isto é, para todo ${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$ temos ${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma }$.^[1]

• Consideremos o espazo medible ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. Sexan ${\displaystyle E\subset X}$ e ${\displaystyle f\colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ (onde ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ é a recta real estendida). Dicimos que ${\displaystyle f}$ é medible en ${\displaystyle E}$ se ${\displaystyle \{x\in E\ \colon \ f(x)>\alpha \}\in \Sigma }$ para todo ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. ^[1]

Función característica dun conxunto

Dado ${\displaystyle E\in \Sigma }$, a función indicadora ou función característica de ${\displaystyle E}$ é a seguinte función medible

${\displaystyle \chi _{E}\ \colon \ x\in X\to \chi _{E}(x)={\begin{cases}1,\ x\in E,\\0,\ x\notin E.\end{cases}}}$

En efecto, dado ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ temos que

${\displaystyle \{x\in E\ \colon \ \chi _{E}(x)>\alpha \}={\begin{cases}X,&\alpha <0,\\E,&0\leq \alpha \leq 1,\\\emptyset ,&\alpha \geq 1,\end{cases}}}$

e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á ${\displaystyle \sigma }$-álxebra.

Propiedades das funcións medibles

• Consideremos ${\displaystyle E\in \Sigma }$ e ${\displaystyle f\ \colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ unha función medible. Para cada ${\displaystyle E_{0}\subset E}$ con ${\displaystyle E_{0}\in \Sigma }$ temos que a restricción de ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle E_{0}}$ é medible en ${\displaystyle E_{0}.}$
• Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma }$ e ${\displaystyle f}$ unha función medible en cada ${\displaystyle E_{n},\ n\in \mathbb {N} }$. Temos que ${\displaystyle f}$ é medible no conxunto ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.}$
• Unha función ${\displaystyle f\colon E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$, con ${\displaystyle E\in \Sigma }$ un conxunto medible, é medible se, e só se, ${\displaystyle f^{-1}(G)\in \Sigma }$ para cada ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} }$ aberto e, ademais, ${\displaystyle f^{-1}(\infty ),\ f^{-1}(-\infty )\in \Sigma .}$
• Dadas ${\displaystyle f,g\ \colon \ E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ con ${\displaystyle E\in \Sigma }$ un conxunto medible, tamén serán funcións medibles ${\displaystyle f\pm g,\ \alpha f,\ f^{2},\ |f|,\ fg}$, con ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$

Propiedades das funcións características

• ${\displaystyle \chi _{\emptyset }=0,\quad \chi _{X}=1.}$
• Se ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}}$, entón ${\displaystyle \chi _{E_{1}}\leq \chi _{E_{2}}}$.
• ${\displaystyle \chi _{E_{1}\cap E_{2}}=\chi _{E_{1}}\cdot \chi _{E_{2}}}$
• ${\displaystyle \chi _{E_{1}\cup E_{2}}=\chi _{E_{1}}+\chi _{E_{2}}-\chi _{E_{1}\cap E_{2}}.}$
• ${\displaystyle \chi _{E^{c}}=1-\chi _{E}.}$
• ${\displaystyle \chi _{E_{1}\setminus E_{2}}=\chi _{E_{1}}-\chi _{E_{1}\cap E_{2}}.}$

Definición de función simple e función simple medible

Dado un subconxunto ${\displaystyle E\subset X}$, dicimos que unha función ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$ é unha función simple se existen

• Unha colección de conxuntos ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset X}$ disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto ${\displaystyle E,}$
• Unha colección de escalares ${\displaystyle \{\alpha _{k}\}_{k=1}^{n}\subset \mathbb {R} ,}$

de maneira que

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\chi _{E_{k}}(x).}$

Se, considerando agora o espazo medible ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, temos que ${\displaystyle E\in \Sigma }$ e a colección de conxuntos é tal que ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{n}\subset \Sigma }$, entón a función ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$ chamarase función simple medible.