Función simple

No campo matemático da análise real, unha función simple é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.

Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se x é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común.) Tódalas funcións en escada son simples.

Definición

Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (X, Σ) un espazo medíbel. Sexa A ₁ ,... , A _n ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa a₁ ,... , a_n unha secuencia de números reais ou complexos. Unha función simple é unha función ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ da forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),}$

onde ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$ é a función indicadora do conxunto A .

Propiedades das funcións simples

A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; daí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Integración das funcións simples

Se unha medida μ está definida no espazo (X ,Σ), a integral de f en relación a μ é

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$

se todos os sumandos son finitos.

Relación coa integración de Lebesgue

A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito.

Teorema. Calquera función medíbel non negativa ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}}$ é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.

Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ é a restrición da σ-álxebra de Borel, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. A proba procede do seguinte xeito:

Sexa ${\displaystyle f}$ unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$. Para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, subdividimos o codominio de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ intervalos, ${\displaystyle 2^{2n}}$ deles teñen lonxitude ${\displaystyle 2^{-n}}$. É dicir, para cada ${\displaystyle n}$, definimos

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)}$ para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}$, e ${\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}$,

que son disxuntos e cobren a recta real non negativa ( ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N} }$ ).

Agora definimos os conxuntos

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,}$ para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,}$

que son medíbeis (${\displaystyle A_{n,k}\in \Sigma }$) porque ${\displaystyle f}$ suponse que é medíbel.

Daquela, a secuencia crecente de funcións simples

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$

converxe punto por punto en ${\displaystyle f}$ cando ${\displaystyle n\to \infty }$. Teña en conta que, cando ${\displaystyle f}$ é limitada, a converxencia é uniforme.