Función primitiva

En cálculo, unha función primitiva, integral indefinida, antiderivada, derivada inversa,ou integral primitiva dunha función f é unha función diferenciable F cuxa derivada é igual á función orixinal f . Isto pódese indicar simbolicamente como F' = f.^[1][2] O proceso de resolución de antiderivadas chámase integración indefinida (ou antidiferenciación), e a súa operación contraria chámase diferenciación, que é o proceso de atopar unha derivada. As antiderivadas adoitan denotarse con letras romanas maiúsculas como F e G.

O campo de pendentes de ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c}$, mostrando tres das infinitas solucións que se poden producir variando a constante arbitraria c.

As funcións primitivas están relacionadas coas integrais definidas a través do segundo teorema fundamental do cálculo: a integral definida dunha función nun intervalo pechado onde a función é integrable de Riemann é igual á diferenza entre os valores dunha antiderivada avaliada nos extremos do intervalo.

Exemplos

A función ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ é unha antiderivada de ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, xa que a derivada de ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ é ${\displaystyle x^{2}}$. Como a derivada dunha constante é cero, ${\displaystyle x^{2}}$ terá un número infinito de antiderivadas, como ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$, etc. Así, todos os antiderivados de ${\displaystyle x^{2}}$ pódese obter cambiando o valor de c in ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$, onde c é unha constante arbitraria coñecida como constante de integración. Esencialmente, os gráficos de antiderivadas dunha función dada son translacións verticais entre si, coa localización vertical de cada gráfico dependendo do valor c

Máis xeralmente, a función ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ten antiderivada ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$ se n ≠ −1 e ${\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}$ se n = −1 .

Usos e propiedades

As funcións primitivas pódense usar para calcular integrais definidas, usando o teorema fundamental do cálculo: se F é unha antiderivada da función continua f sobre o intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, logo: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$$

Hai moitas funcións cuxas antiderivadas, aínda que existen, non se poden expresar en funcións elementais (como polinomios, funcións exponenciais, logaritmos, funcións trigonométricas, funcións trigonométricas inversas e as súas combinacións). Exemplos destas son

Técnicas de integración

Buscar funcións primitivas de funcións elementais adoita ser considerablemente máis difícil que atopar as súas derivadas (de feito, non hai un método predefinido para calcular integrais indefinidas).^[3] Para algunhas funcións elementais, é imposible atopar unha antiderivada en termos doutras funcións elementais.

Existen moitas propiedades e técnicas para atopar funcións primitivas. Estas inclúen, entre outras:

• A linearidade da integración (que divide as integrais complicadas en outras máis sinxelas)
• Integración por substitución, moitas veces combinada con identidades trigonométricas ou o logaritmo neperiano
• O método da regra da cadea inversa (un caso especial de integración por substitución)
• Integración por partes (para integrar produtos de funcións)
• Integración de funcións inversas (fórmula que expresa a función primitiva da inversa ${\displaystyle f^{-1}}$ dunha función inversa e continua f, en termos da antiderivada de f e de ${\displaystyle f^{-1}}$).
• O método das fraccións parciais en integración (que nos permite integrar todas as funcións racionais: fraccións de dous polinomios)
• O algoritmo de Risch
• Técnicas adicionais para integracións múltiples (ver, por exemplo , as integrais dobres, as coordenadas polares, o jacobiano e o teorema de Stokes)
• Integración numérica (unha técnica para aproximar unha integral definida cando non existe ningunha función primitiva elemental, como no caso de ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$.)
• Manipulación alxébrica do integrando (para que se poidan utilizar outras técnicas de integración, como a integración por substitución)
• Fórmula de Cauchy para integracións sucesivas (para calcular a antiderivada n veces dunha función) $${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.}$$

Os sistemas alxébricos computacionais (CAS) poden usarse para automatizar parte ou todo o traballo implicado nas técnicas simbólicas anteriores, o que é particularmente útil cando as manipulacións alxébricas implicadas son moi complexas ou longas. As integrais que xa foron derivadas pódense buscar nunha táboa de integrais.

Funcións non continuas

As funcións non continuas poden ter antiderivadas. Aínda hai preguntas abertas nesta área, mais sábese que:

• Algunhas funcións altamente patolóxicas con grandes conxuntos de descontinuidades poden ter antiderivadas. Unhas poderán ser resolvidas mediante integración de Riemann e outras non.

Asumindo que os dominios das funcións son intervalos abertos:

• Unha condición necesaria, mais non suficiente, para que unha función f teña unha antiderivada é que f teña a propiedade do valor intermedio. É dicir, se [a, b] é un subintervalo do dominio de f e y é calquera número real entre f(a) e f(b), entón existe un c entre a e b tal que f(c) = y. Esta é unha consecuencia do teorema de Darboux.
• O conxunto de descontinuidades de f debe ser un conxunto magro. Este conxunto tamén debe ser un conxunto F-sigma.
• Se f ten unha antiderivada, está limitada a subintervalos finitos pechados do dominio e ten un conxunto de descontinuidades de medida de Lebesgue 0, entón pódese atopar unha antiderivada por integración no sentido de Lebesgue. De feito, usando integrais máis potentes como a integral de Henstock–Kurzweil, cada función para a que existe unha antiderivada é integrable e a súa integral xeral coincide coa súa antiderivada.
• Se f ten unha antiderivada F nun intervalo pechado ${\displaystyle [a,b]}$, entón para calquera opción de partición ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$ se se escolle puntos de mostra ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ segundo o especificado polo teorema do valor medio, entón a suma de Riemann correspondentes pode usar unha serie telescópica con resultado ${\displaystyle F(b)-F(a)}$ . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$ Non obstante, se f non está limitada, ou se f está limiada mais o conxunto de descontinuidades de f ten unha medida de Lebesgue positiva, unha elección diferente de puntos de mostra ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ pode dar un valor significativamente diferente para a suma de Riemann, por moi fina que sexa a partición. Vexa o exemplo 4 a continuación.

Algúns exemplos

1. A función

$${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)}$$ con ${\displaystyle f(0)=0}$ é descontinua en ${\displaystyle x=0}$ mais ten a antiderivada $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$$ con ${\displaystyle F(0)=0}$. Posto que f está limitada en intervalos finitos pechados e só é descontinua en 0, a antiderivada F pode obterse por integración: ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$.

2. A función

$${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$ con ${\displaystyle f(0)=0}$ non é continua en ${\displaystyle x=0}$ mais ten a antiderivada $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$ con ${\displaystyle F(0)=0}$. Pola contra do Exemplo 1, f(x) non está limitada en ningún intervalo que conteña 0, por tanto a integral de Riemann fica indefinida.

3. Se f(x) é a function do Exemplo 1 e F é a súa antiderivada, e ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ é un subconxunto numerable denso do intervalo aberto ${\displaystyle (-1,1),}$ daquela a función

$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}}$$ ten a antiderivada $${\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.}$$

O conxunto de descontinuidades de g é precisamente o conxunto ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$. Dado que g está limitada a intervalos finitos pechados e o conxunto de descontinuidades ten medida 0, a antiderivada G pódese atopar por integración.

4. Sexa ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ un subconxunto numerábel denso do intervalo aberto ${\displaystyle (-1,1).}$Considere a función crecente continua en todas partes

$${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.}$$

Pódese demostrar que $${\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}}$$

Figura 1.

Figura 2.

para todos os valores x onde a serie converxe, e que a gráfica de F(x) ten liñas tanxentes verticais en todos os demais valores de x. En particular, a gráfica ten liñas tanxentes verticais en todos os puntos do conxunto ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$.

Alén diso, ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ para todos os x onde se define a derivada. De aquí temos que a función inversa ${\displaystyle G=F^{-1}}$ é diferenciable en todas as partes e que $${\displaystyle g(x)=G'(x)=0}$$

para todos os x no conxunto ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ que é denso no intervalo ${\displaystyle [F(-1),F(1)].}$ Así g ten unha antiderivada G.

Por outra parte, non pode ser verdade que $${\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$$ posto que para calquera partición de ${\displaystyle [F(-1),F(1)]}$, podemos escoller puntos para os que a suma de Riemann do conxunto ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$, dan un valor 0 para a suma. Con todo isto temos que g ten un conxunto de descontinuidades con medida positiva de Lebesgue.

A Figura 1 da dereita mostra unha aproximación á gráfica de g(x) onde ${\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}}$ e a serie está truncada a 8 termos. A Figura 2 mostra a gráfica dunha aproximación á antiderivada G(x), tamén truncada a 8 termos. Por outra banda, se a integral de Riemann é substituída pola integral de Lebesgue, daquela o lema de Fatou ou o teorema da converxencia dominada mostran que g satisfai o teorema fundamental do cálculo nese contexto.

5. Nos Exemplos 3 e 4, os conxuntos de descontinuidades das funcións g son densos só nun intervalo aberto finito ${\displaystyle (a,b).}$ No entanto, estes exemplos poden modificarse facilmente para ter conxuntos de descontinuidades que son densos en toda a liña real ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$. Sexa

$${\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.}$$

Daquela ${\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}$ ten un conxunto denso de descontinuidades en ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ e ten antiderivadas ${\displaystyle G\cdot \lambda .}$

6. Usando un método similar ao do Exemplo 5, pódese modificar g no exemplo 4 para eliminar todos os números racionais. Se se usa unha versión inxenua da integral de Riemann definida como o límite das sumas de Riemann á esquerda ou á dereita sobre particións regulares, obterase que a integral de tal función g nun intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ é 0 sempre que a e b sexan racionais, en lugar de ${\displaystyle G(b)-G(a)}$. Así, o teorema fundamental do cálculo fallará.

7. Unha función que ten unha antiderivada aínda pode non ser integrable de Riemann. A derivada da Función de Volterra é un exemplo.

Fórmulas básicas

• Se ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)}$, daquela${\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C}$.
• ${\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$