Logaritmo complexo

En matemáticas, un logaritmo complexo é unha xeneralización do logaritmo natural aos números complexos non nulos. O termo pode referirse a un dos seguintes conceptos, que están estreitamente relacionados:

• Un logaritmo complexo dun número complexo non nulo ${\displaystyle z}$, definido como calquera número complexo ${\displaystyle w}$ tal que ${\displaystyle e^{w}=z}$.^[1][2] Tal número ${\displaystyle w}$ denótase por ${\displaystyle \log z}$.^[1] Se ${\displaystyle z}$ se expresa en forma polar como ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, onde ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ son números reais con ${\displaystyle r>0}$, entón ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ é un logaritmo de ${\displaystyle z}$, e todos os logaritmos complexos de ${\displaystyle z}$ son exactamente os números da forma ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$, para enteiros ${\displaystyle k}$.^[1][2] Estes logaritmos están equidistantes ao longo dunha liña vertical no plano complexo.

• Unha función con valores complexos ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$, definida nun subconxunto ${\displaystyle U}$ do conxunto ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ dos números complexos non nulos, e que cumpre ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ para todo ${\displaystyle z}$ en ${\displaystyle U}$. Tales funcións logarítmicas complexas son análogas á función logarítmica natural real ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$, que é a función inversa da función exponencial real e cumpre e^{ln x} = x para todo número real positivo x. As funcións logarítmicas complexas poden construírse mediante fórmulas explícitas que empregan funcións reais, por integración de ${\displaystyle 1/z}$, ou mediante o proceso de prolongamento analítico.

Unha rama do logaritmo complexo. O ton da cor úsase para amosar o argumento do logaritmo complexo. O brillo da cor úsase para amosar o módulo do logaritmo complexo.

. A súa gráfica obtense rotando a gráfica de ln(x) ao redor do eixo OZ.

Non existe ningunha función continua logarítmica complexa definida en todo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$. As maneiras de tratar esta cuestión inclúen o uso de ramas, a superficie de Riemann asociada e as inversas parciais da función exponencial complexa. O valor principal define unha función logarítmica complexa particular ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ que é continua agás ao longo do eixe real negativo; no plano complexo cos números reais negativos e o cero eliminados, constitúe o prolongamento analítico do logaritmo natural (real).