Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun matriz complexa ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ é unha matriz ${\displaystyle n\times m}$obtida por transposición de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e aplicando a conxugación complexa a cada entrada (sendo ${\displaystyle a-ib}$ o conxugado complexo de ${\displaystyle a+ib}$ sendo, con números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$). Hai varias notacións, como ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ou ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$, ^[1] ${\displaystyle \mathbf {A} '}$, ou (a miúdo en física) ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }}$.

Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$.

Nalgúns contextos, ${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$ denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.

Definición

A conxugada transposta dunha matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ defínese formalmente por

${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}}$

(Eq.1)

onde o subíndice ${\displaystyle ij}$ denota a ${\displaystyle (i,j)}$-ésima entrada (elemento da matriz), para ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ e ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.

Esta definición tamén se pode escribir como

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}}$

onde ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}$ denota a transposta e ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$ denota a matriz con entradas complexas conxugadas.

Exemplo

Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$,

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Primeiro transpoñemos a matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Entón conxugamos cada entrada da matriz:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Observacións básicas

Unha matriz cadrada ${\displaystyle \mathbf {A} }$ con entradas ${\displaystyle a_{ij}}$ chámase

• Hermitiana ou autoadxunta se ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$; é dicir, ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• Matriz antihermitiana se ${\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ ; é dicir, ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$ .
• Normal se ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$.
• Unitaria se ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}}$, de forma equivalente ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, de forma equivalente ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}}$ .

Aínda se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ non é cadrada, as dúas matrices ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.

A matriz "adxunta" transposta conxugada ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }}$ non debe confundirse coa matriz adxunta, ${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )}$.

A transposta conxugada dunha matriz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ con entradas reais redúcese á transposición de ${\displaystyle \mathbf {A} }$, xa que o conxugado dun número real é o propio número.

A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais ${\displaystyle 2\times 2}$, obedecendo á suma e á multiplicación matricial:

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos ${\displaystyle e^{i\theta }}$ como a matriz de rotación, é dicir,

${\displaystyle e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Posto que ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$, lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Un número complexo en xeral ${\displaystyle z=x+iy}$ represéntase logo como ${\displaystyle z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.}$ A operación complexo conxugado (que envía ${\displaystyle a+bi}$ a ${\displaystyle a-bi}$ para números reais ${\displaystyle a,b}$) está recollida como a matriz transposta.^[2]