Número aleph

En matemáticas, particularmente na teoría de conxuntos, os números aleph (ou alef) son unha secuencia de números que se usa para representar a cardinalidade (ou tamaño) de conxuntos infinitos.^[a] Foron introducidos polo matemático Georg Cantor^[1] e reciben o nome do símbolo que utilizaba para denotalos, a letra do hebreo aleph (ℵ).^[2]

Aleph-cero, alef-cero ou aleph-nulo, o número cardinal infinito máis pequeno

A cardinalidade máis pequena dun conxunto infinito é a dos números naturais, denotado por ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (léase alef-cero ou aleph-nulo); a seguinte cardinalidade maior dun conxunto ben ordenado é ${\displaystyle \aleph _{1},}$ despois ${\displaystyle \aleph _{2},}$ despois ${\displaystyle \aleph _{3},}$ e así seguido. Continuando deste xeito, é posíbel definir un número cardinal infinito ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ para cada número ordinal ${\displaystyle \alpha }$.

O concepto e a notación débense a Georg Cantor,^[3] que definiu a noción de cardinalidade e deuse conta de que os conxuntos infinitos poden ter cardinalidades diferentes.

Os números aleph difiren do infinito (${\displaystyle \infty }$) que adoita atoparse en álxebra e cálculo, xa que os alefs miden o tamaño dos conxuntos, mentres que o infinito defínese habitualmente como un límite extremo da recta numérica real (aplicado a unha función ou secuencia que "diverxe ata o infinito" ou "aumenta sen límite"), ou como un punto extremo da recta numérica real estendida.

Aleph-cero

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (aleph-cero) é a cardinalidade do conxunto de todos os números naturais, e é un cardinal infinito. O conxunto de todos os ordinais finitos, chamado ${\displaystyle \omega }$ ou ${\displaystyle \omega _{0}}$ (onde ${\displaystyle \omega }$ é a letra grega minúscula omega), tamén ten cardinalidade ${\displaystyle \aleph _{0}}$. Un conxunto ten cardinalidade ${\displaystyle \aleph _{0}}$ se e só se é numerabelmente infinito, é dicir, hai unha bixección (correspondencia un a un) entre el e os números naturais. Exemplos destes conxuntos son

• o conxunto de números naturais,
• o conxunto de todos os números enteiros ,
• calquera subconxunto infinito de números enteiros, como o conxunto de todos os números cadrados ou o conxunto de todos os números primos,
• o conxunto de todos os números racionais ,
• o conxunto de todos os números construíbeis (no sentido xeométrico),
• o conxunto de todos os números alxébricos,
• o conxunto de todas as funcións computábeis,
• o conxunto de todas as cadeas binarias de lonxitude finita
• o conxunto de todos os subconxuntos finitos de calquera conxunto numerábel infinito dado.

Entre os conxuntos numerábeis infinitos atópanse certos ordinais infinitos,^[b]incluíndo por exemplo ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega \cdot 2}$, ${\displaystyle \omega ^{2}}$, ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Por exemplo, a secuencia (con tipo de orde ${\displaystyle \omega \cdot 2}$ ) de todos os enteiros impares positivos seguidos de todos os enteiros pares positivos ${\displaystyle \{1,3,5,7,9,\cdots ;2,4,6,8,10,\cdots \}}$ é unha ordenación (con cardinalidade ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ) do conxunto de enteiros positivos.

Aleph-un

${\displaystyle \aleph _{1}}$ é a cardinalidade do conxunto de todos os números ordinais numerábeis. Este conxunto é denotado como ${\displaystyle \omega _{1}}$ (ou ás veces Ω). O conxunto ${\displaystyle \omega _{1}}$ é en si un número ordinal maior que todos os numerábeis, polo que é un conxunto non numerábel. Polo tanto, ${\displaystyle \aleph _{1}}$ é a cardinalidade máis pequena que é maior que ${\displaystyle \aleph _{0},}$ a menor cardinalidade infinita.

A definición de ${\displaystyle \aleph _{1}}$ implica (en ZF, teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla) que ningún número cardinal está entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ e ${\displaystyle \aleph _{1}.}$ Se se usa o axioma da escolla, pódese probar a maiores que a clase de números cardinais está totalmente ordenada e, polo tanto, ${\displaystyle \aleph _{1}}$ é o segundo número cardinal infinito máis pequeno.

Pódese demostrar unha das propiedades máis útiles do conxunto ${\displaystyle \omega _{1}}$: Calquera subconxunto numerábel de ${\displaystyle \omega _{1}}$ ten un límite superior dentro de ${\displaystyle \omega _{1}}$ (Isto dedúcese do feito de que a unión dun número numerábel de conxuntos numerábeis é en si mesmo numerábel). Este feito é análogo á situación en ${\displaystyle \aleph _{0}}$ : Todo conxunto finito de números naturais ten un máximo que tamén é un número natural, e as unións finitas de conxuntos finitos son finitas.

Un exemplo de aplicación do ordinal ${\displaystyle \omega _{1}}$ consiste en "pechar" en relación ás operacións numerábeis; por exemplo, tentando describir explicitamente a σ-álxebra xerada por unha colección arbitraria de subconxuntos (ver por exemplo a xerarquía de Borel).

Isto é máis difícil que a maioría das descricións explícitas de "xeración" en álxebra (espazos vectoriais, grupos, etc.) porque neses casos só temos que pechar en relación a operacións finitas, como sumas, produtos, etc.

O proceso implica definir, para cada ordinal numerábel, mediante indución transfinita, un conxunto considerando todas as unións posíbeis e os complementos e tomando de todas elas sobre todas as de ${\displaystyle \omega _{1}.}$

Hipótese do continuo

Artigo principal: Hipótese do continuo.

A cardinalidade do conxunto de números reais ( cardinalidade do continuo) é 2 ^{${\displaystyle \aleph _{0}}$}. Non se pode determinar a partir de ZFC (Teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada co axioma de escolla) onde este número encaixa exactamente na xerarquía de números aleph, mais de ZFC despréndese que a hipótese do continuo (CH) é equivalente á identidade

2^{${\displaystyle \aleph _{0}}$} = ${\displaystyle \aleph _{1}}$.^[4]

Aleph-omega

Aleph-omega é

${\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup\{\aleph _{n}|n\in \omega \}=\sup\{\aleph _{n}|n\in \{0,1,2,\cdots \}\}}$

onde o menor ordinal infinito denotase como ${\displaystyle \omega }$. É dicir, o número cardinal ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ é o límite superior mínimo de ${\displaystyle \sup\{\aleph _{n}|n\in \{0,1,2,\cdots \}\}}$.

Notabelmente, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ é o primeiro número cardinal non numerábel que se pode demostrar dentro da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel que non é igual á cardinalidade do conxunto de todos os números reais ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$: Para calquera número natural ${\displaystyle n\geq 1}$, podemos asumir coherentemente que ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}}$, e a maiores é posíbel supor que ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ é tan grande como calquera número cardinal que nos guste.

Aleph-α para un α en xeral

Para definir ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ para un número ordinal arbitrario ${\displaystyle \alpha }$, debemos definir a operación cardinal sucesora, que asigna a calquera número cardinal ${\displaystyle \rho }$ o seguinte cardinal máis grande e ben ordenado ${\displaystyle \rho ^{+}}$ (se se cumpre o axioma de escolla, este é o cardinal máis grande (único) seguinte).

Entón podemos definir os números aleph do seguinte xeito:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=(\aleph _{\alpha })^{+}}$

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}}$ para ${\displaystyle \lambda }$ un ordinal límite infinito.

O ${\displaystyle \alpha }$-ésimo ordinal inicial infinito escríbese ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$. A súa cardinalidade escríbese ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$.