Cardinalidade do continuo

Na teoría de conxuntos, a cardinalidade do continuo é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por ${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$ (en minúscula Fraktur "c") ou ${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}}$.^[1]

Cardinalidade do continuo
Instancia de	número cardinal e ℶ
Estudado por	teoría de conxuntos
Parte de	ℶ
Semellante a	aleph um (pt)
Fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}=2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |}$
Referido na fórmula como ${\displaystyle \beth }$ (ℶ) ${\displaystyle \aleph }$ (número aleph) ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (cardinalidade do continuo) ${\displaystyle |{-}|}$ (cardinalidade) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (Continuo)
[ Wikidata ]

Os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ son máis numerosos que os números naturais ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Alén disto, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Simbólicamente, se a cardinalidade de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ se denota como ${\displaystyle \aleph _{0}}$, a cardinalidade do continuo é

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.

Entre dous números reais calquera a < b, por moi próximos que estean entre si, sempre hai infinitos outros números reais, e Cantor demostrou que son tantos como os contidos en todo o conxunto de números reais. Noutras palabras, o intervalo aberto (a, b) é equipotente con ${\displaystyle \mathbb {R} }$, así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (ver curva de recheo do espazo). É dicir,

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

O menor número cardinal infinito é ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (aleph-cero). O segundo máis pequeno é ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, quere dicir que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$.^[2] A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC).

Propiedades

Non numerabilidade

Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir, ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, ${\displaystyle \aleph _{0}}$:

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

Igualdades cardinais

Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, ${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$.^[3]

A igualdade cardinal ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$ pódese demostrar mediante a aritmética cardinal:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$

onde n é calquera cardinal finito ≥ 2 e

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}}$

onde ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ é a cardinalidade do conxunto de partes de R, e ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$.

Números beth

Artigos principais: número aleph e número beth.

A secuencia dos números beth defínese pola configuración ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ e ${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$. Logo ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ é o segundo número beth, beth-un:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

O terceiro número beth, beth-dous, é a cardinalidade do conxunto de partes de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real):

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

A hipótese do continuo

Artigo principal: hipótese do continuo.

A hipótese do continuo afirma que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ tamén é o segundo número aleph, ${\displaystyle \aleph _{1}}$.^[2] Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto ${\displaystyle A}$ cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ e ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad$ :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}

Conxuntos con cardinalidade do continuo

Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Algúns exemplos comúns son os seguintes:

• os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• calquera intervalo pechado ou aberto non dexenerado de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (como o intervalo unitario ${\displaystyle [0,1]}$)
• os números irracionais
• os números transcendentais
• o conxunto de Cantor
• o Espazo euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$^[4]
• os números complexoss ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• o conxunto potencia dos números naturais${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais)
• o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$, moitas veces denotadas ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$)
• o conxunto de sucesións de números reais, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• o conxunto de todas as funcións continuas dende ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ata ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• a topoloxía euclidiana en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)
• a álxebra σ de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Conxuntos con maior cardinalidade

Conxuntos con cardinalidade maior que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ inclúen:

• o conxunto de todos os subconxuntos de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (é dicir, o conxunto de partes ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ )
• o conxunto 2^R de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto ${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$ é isomorfo a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$, a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto)
• o conxunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ de todas as funcións de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• a σ-álxebra de Lebesgue ${\displaystyle \mathbb {R} }$, é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• as compactacións de Stone-Čech de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, e ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.