Número triangular

Un número triangular conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O n-ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con n puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos n números naturais de 1 a n. A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

Os seis primeiros números triangulares

(secuencia A000217 na OEIS)

Fórmula

Derivado do Triángulo de Pascal xustificado á esquerda .      Número natural      Número triangular      Número tetraédrico      Número pentatópico      Número 5-simplex      Número 6-simplex      Número 7-simplex

Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

O feito de que o ${\displaystyle n}$ o número triangular é igual ${\displaystyle n(n+1)/2}$ pódese ilustrar mediante unha proba visual.^[1] O exemplo ${\displaystyle T_{4}}$:

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$ (verdes e amarelas) implica que ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$ (verdes).   

O número triangular T_n resolve o problema do aperta de mans de contar o número de apertas de mans se cada persoa nunha habitación con n + 1 persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apertas de mans de n persoas é T_n−1.^[2] A función T é o análogo aditivo da función factorial, que son os produtos de números enteiros de 1 a n.

Relacións con outros números figurados

Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,$${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:$${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$con ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Todos os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividade$${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$con ${\displaystyle S_{0}=0}$ e ${\displaystyle S_{1}=1.}$

Ademais, o cadrado do n-ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a n. Isto tamén se pode expresar como$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$A suma dos n primeiros números triangulares é o n ésimo número tetraédrico:$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$A diferenza positiva de dous números triangulares é un número trapezoidal.

Outras propiedades

Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmula$${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$onde M_p é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero é$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$Isto pódese mostrar usando a suma básica dunha serie telescópica (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro):$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots {\Big )}=1.}$$Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares son$${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$e$${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$En 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo T₀ = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ ".

O maior número triangular da forma 2^k − 1 é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007.^{[3] [4]}

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.^[5][6]

Aplicacións

O número máximo de partes, p que obtemos con n cortes rectos é o n-ésimo número triangular máis un, formando a secuencia (secuencia A000124 na OEIS)

Unha rede totalmente conectada de n dispositivos informáticos require a presenza de T_{n − 1} cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre n equipos é igual ao número triangular T_{n − 1}. Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.

Raíces triangulares e probas de números triangulares

Por analoxía coa raíz cadrada de x, pódese definir a raíz triangular (positiva) de x como o número n tal que T_n = x: $${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$que segue inmediatamente da fórmula cadrática. Polo tanto, un número enteiro x é triangular se e só se 8x + 1 é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva n de x é un número enteiro, entón x é o n-ésimo número triangular.