Elemento inverso

En matemáticas, o concepto de elemento inverso xeneraliza os conceptos de oposto (−x) e recíproco (1/x) para os números.

Dada unha operación denotada aquí ∗, e un elemento neutro (ou identidade) denotado e, se x ∗ y = e, dise que x é un inverso pola esquerda de y, e que y é un inverso pola dereita de x. (Un elemento neutro é un elemento tal que x * e = x, tamén e * y = y para todos x e y para os que se definen os lados esquerdos.^[1])

Cando a operación ∗ é asociativa, se un elemento x ten un inverso pola esquerda e pola dereita, entón estes dous inversos son iguais e únicos; chámanse elemento inverso ou simplemente inverso. Moitas veces engádese un adxectivo para especificar a operación, como en inverso aditivo (elemento simétrico ou oposto), inverso multiplicativo e inverso funcional.

Os inversos úsanse habitualmente en grupos (onde cada elemento é invertible), e os aneis (onde os elementos invertibles tamén se chaman unidades, o que o fai un bocadiño confuso en relación aos propios elementos 1). Tamén se usan habitualmente para operacións que non están definidas para todos os operandos posibles, como matrices inversas e funcións inversas. Isto xeneralizouse á teoría de categorías, onde, por definición, un isomorfismo é un morfismo invertible.

Propiedades básicas

Nesta sección, X é un conxunto no que se define unha operación parcial (posiblemente total), que se denota con ${\displaystyle *.}$

Unha operación parcial é asociativa se

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z}$

para cada x, y, z en X.

Exemplos de operacións asociativas non totais son a multiplicación de matrices de tamaño arbitrario e a composición de funcións.

Elementos identidade ou neutros

Sexa ${\displaystyle *}$ unha operación asociativa posiblemente parcial nun conxunto X .

Un elemento neutro, ou identidade é un elemento e tal que

${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y}$

para cada x e y.

De aquí segue que unha operación total ten como máximo un elemento de identidade.

Por exemplo, no caso da multiplicación de matrices, hai unha matriz identidade n×n para cada número enteiro positivo n, e dúas matrices identidade de tamaño diferente non se poden multiplicar xuntas.

Inversos pola esquerda e pola dereita

Se ${\displaystyle x*y=e,}$ onde e é un elemento neutro, dise que x é un inverso pola esquerda de y e y é un inverso pola dereita de x.

Os inversos pola esquerda e pola dereita non sempre existen, aínda que a operación sexa total e asociativa. Por exemplo, a suma é unha operación asociativa total sobre enteiros non negativos, que ten 0 como identidade aditiva (ou neutro da suma) e 0 sería o único elemento con aditiva inversa, porque o resto serían enteiros negativos. Esta falta de inversos é a principal motivación para estender os números naturais aos enteiros.

Inversos

Un elemento é invertible baixo unha operación se ten un inverso pola esquerda e outro pola dereita.

No caso común onde a operación é asociativa, o inverso esquerdo e dereito dun elemento coinciden e son únicos.

Se a operación é a suma, a inversa ou a inversa aditiva dun elemento x denótase por ${\displaystyle -x.}$ No caso da multiplicación, a inversa de x denótase por ${\displaystyle x^{-1}}$ou ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

Un homomorfismo invertible chámase isomorfismo.

En grupos

Un grupo é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade, e para o que cada elemento ten un inverso.

En monoides

Un monoide é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade.

En aneis

Un anel é unha estrutura alxébrica con dúas operacións, suma e multiplicación, que son como se chaman as operacións habituais sobre números.

Baixo a suma, un anel é un grupo abeliano, o que significa que a suma é conmutativa e asociativa; ten unha identidade, chamada identidade aditiva, escrita como 0; e todo elemento x ten un inverso, chamado inverso aditivo e escrito −x. Debido á conmutividade, os conceptos de inverso esquerdo e dereito carecen de sentido xa que non se diferencian dos inversos.

Baixo a multiplicación, un anel é un monoide; isto significa que a multiplicación é asociativa e ten unha identidade chamada identidade multiplicativa que escribimos 1. Un elemento invertible para a multiplicación chámase unidade. O inverso ou multiplicativo inverso (para evitar confusións cos inversos aditivos) dunha unidade x denótanse ${\displaystyle x^{-1}}$ ou, cando a multiplicación é conmutativa, ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

A identidade aditiva 0 nunca é unha unidade, agás cando o anel é o anel cero, que ten 0 como elemento único.

Se 0 é o único elemento non invertíbel (único non unidade), o anel é un corpo se a multiplicación é conmutativa, ou é un anel de división (corpo non conmutativo) no caso contrario.

Matrices

A multiplicación de matrices defínese comunmente para matrices sobre un corpo, e esténdese directamente a matrices sobre aneis, rngs e semianeis. Non obstante, nesta sección só se consideran matrices sobre un anel conmutativo, debido ao uso do concepto de rango e determinante.

Se A é unha matriz m×n (é dicir, unha matriz con m filas e n columnas), e B é unha matriz p×q, o produto AB está definido no caso que n = p, e só neste caso. Unha matriz identidade, é dicir, un elemento de identidade para a multiplicación de matrices é unha matriz cadrada (o mesmo número para filas e columnas) cuxas entradas da diagonal principal son todas iguais a 1 e todas as demais entradas son 0.

Unha matriz invertible é un elemento invertible baixo a multiplicación de matrices. Unha matriz sobre un anel conmutativo R é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en R (é dicir, é invertible en R). Neste caso, a súa matriz inversa pódese calcular coa regra de Cramer.

Se R é un corpo, o determinante é invertible se e só se non é cero. Como o caso dos corpos é o máis común, vese moitas veces que as matrices invertibles son as matrices cun determinante distinto de cero, mais isto é incorrecto sobre os aneis.

Funcións, homomorfismos e morfismos

A composición é unha operación parcial que xeneraliza os homomorfismos de estruturas alxébricas e os morfismos de categorías en operacións que tamén se denominan composición e comparten moitas propiedades coa composición de funcións.

En todos os casos, a composición é asociativa .

Se ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y'\to Z,}$ a composición ${\displaystyle g\circ f}$ defínese se e só se ${\displaystyle Y'=Y}$ ou, nos casos de función e homomorfismo, ${\displaystyle Y\subset Y'.}$ Nos casos de función e homomorfismo, isto significa que o codominio de ${\displaystyle f}$ é igual ou está incluído no dominio de g. No caso do morfismo, isto significa que o codominio de ${\displaystyle f}$ é igual ao dominio de g.

Hai unha identidade ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon X\to X}$ para cada obxecto X (conxunto, estrutura alxébrica ou obxecto ), que tamén se denomina función identidade no caso da función.

Unha función é invertible se e só se é unha bixección. Un homomorfismo ou morfismo invertible chámase isomorfismo. Un homomorfismo de estruturas alxébricas é un isomorfismo se e só se é unha bixección. A inversa dunha bixección chámase función inversa. Nos outros casos, fálase de isomorfismos inversos.

Unha función ten unha inversa pola esquerda ou pola dereita se e só é inxectiva ou sobrexectiva, respectivamente.