Relación reflexiva

En matemáticas, unha relación binaria ${\displaystyle R}$ nun conxunto ${\displaystyle X}$ é reflexiva se relaciona cada elemento de ${\displaystyle X}$ consigo mesmo. ^{[1] [2]}

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.

Definición

Relacións binarias transitivas v c e
Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Relación de equivalencia  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde (Cuasiorde)  Non  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Non  Non Preorde total  Non  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Orde total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Si  Non  Non Pre-Ben ordenada  Non  Non  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Cuasi-Ben ordenada  Non  Non  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Non Ben ordenada  Non  Si  Si  Si  Non  Non  Si  Non  Non Retícula  Non  Si  Non  Non  Si  Si  Si  Non  Non Semiretícula superior (join)  Non  Si  Non  Non  Si  Non  Si  Non  Non Semiretícula inferior (meet)  Non  Si  Non  Non  Non  Si  Si  Non  Non Orde estrita parcial  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita feble  Non  Si  Non  Non  Non  Non  Non  Si  Si Orde estrita total  Non  Si  Si  Non  Non  Non  Non  Si  Si Simétrica Antisimétrica Conexa Ben fundada Ten joins Ten meets Reflexiva Irreflexiva Asimétrica Definicións, para todo ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{non }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}}$
Si indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que  Non indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por  Si na columna "Simétrica" e  Non na columna "Antisimétrica". Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea ${\displaystyle R}$ sexa transitiva: para todo ${\displaystyle a,b,c,}$ se ${\displaystyle aRb}$ e ${\displaystyle bRc}$ entón ${\displaystyle aRc.}$ Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa.

Sexa ${\displaystyle R}$ unha relación binaria nun conxunto ${\displaystyle X,}$ que por definición é só un subconxunto de ${\displaystyle X\times X.}$ Para calquera ${\displaystyle x,y\in X,}$ a notación ${\displaystyle xRy}$ significa que ${\displaystyle (x,y)\in R}$ mentres "non ${\displaystyle xRy}$ " significa que ${\displaystyle (x,y)\not \in R.}$

A relación ${\displaystyle R}$ chámase reflexiva se ${\displaystyle xRx}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

De forma equivalente, se ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$ denota a relación de identidade en ${\displaystyle X}$, a relación ${\displaystyle R}$ é reflexiva se ${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$.

O peche reflexivo de ${\displaystyle R}$ é a unión ${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$ que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a ${\displaystyle \subseteq }$) relación reflexiva en ${\displaystyle X}$ que é un superconxunto de ${\displaystyle R.}$ Unha relación ${\displaystyle R}$ é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de ${\displaystyle R}$ é a relación máis pequena (con respecto a ${\displaystyle \subseteq }$) en ${\displaystyle X}$ que ten o mesmo peche reflexivo que ${\displaystyle R.}$ É igual a ${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$

A redución reflexiva de ${\displaystyle R}$ pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de ${\displaystyle R.}$ Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica ${\displaystyle <}$ nos reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é a desigualdade non estrita habitual ${\displaystyle \leq }$ mentres que a redución reflexiva de ${\displaystyle \leq }$ é ${\displaystyle <.}$

Definicións relacionadas

Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación ${\displaystyle R}$ chámase:

irreflexiva, antireflexiva

se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se ${\displaystyle xRx}$ non vale para ningún ${\displaystyle x\in X.}$ Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en ${\displaystyle X\times X}$ é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.

case reflexiva pola esquerda

se sempre que ${\displaystyle x,y\in X}$ son tal que ${\displaystyle xRy,}$ entón necesariamente ${\displaystyle xRx.}$^[3]

case reflexiva pola dereita

se sempre que ${\displaystyle x,y\in X}$ son tal que ${\displaystyle xRy,}$ entón necesariamente ${\displaystyle yRy.}$

case reflexiva

se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que ${\displaystyle x,y\in X}$ sexan tal que ${\displaystyle xRy,}$ entón necesariamente ${\displaystyle xRx}$ e ${\displaystyle yRy.}$ De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación ${\displaystyle R}$ é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$ é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.

antisimétrica

se sempre que ${\displaystyle x,y\in X}$ son tal que ${\displaystyle xRy{\text{ e }}yRx,}$ entón necesariamente ${\displaystyle x=y.}$

coreflexiva

se sempre que ${\displaystyle x,y\in X}$ son tal que ${\displaystyle xRy}$ entón necesariamente ${\displaystyle x=y.}$^[4] Unha relación ${\displaystyle R}$ é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro ${\displaystyle X}$ non pode ser irreflexiva, nin asimétrica (${\displaystyle R}$ chámase asimétrica se ${\displaystyle xRy}$ non implica ${\displaystyle yRx}$), nin antitransitiva (${\displaystyle R}$ é antitransitiva se ${\displaystyle xRy{\text{ e }}yRz}$ implica non ${\displaystyle xRz}$).

Representación

Sexa ${\displaystyle R}$ unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.

Notación	Relación reflexiva	Relación antirreflexiva
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x\in A,\;(x,x)\in R}$	${\displaystyle \forall x\in A,\;(x,x)\notin R}$
Como matriz de adxacencia	A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=1.}$	A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0.}$
Como grafo	O grafo conterá bucles en todos os seus nodos.	O grafo non conterá bucles en ningún dos seus nodos.

Exemplos

Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

• "é igual a" (igualdade)
• "é un subconxunto de"
• "divide a" (divisibilidade)
• "é maior ou igual a"
• "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

• "non é igual a"
• "é coprimo a" nos enteiros maiores que 1
• "é un subconxunto propio de"
• "é maior que"
• "é menor que"