Valor absoluto (álxebra)

En álxebra, un valor absoluto (tamén chamado valoración, magnitude ou norma, ^[1] aínda que " norma " adoita referirse a un tipo específico de valor absoluto nun corpo) é unha función que mide o "tamaño" dos elementos nun corpo ou dominio de integridade. Máis precisamente, se D é un dominio de integridade, entón un valor absoluto é calquera mapeamento |x| de D nos números reais R satisfacendo:

	•	${\displaystyle \left|x\right|\geq 0}$		(non negativo)
	•	${\displaystyle \left|x\right|=0}$ se e só se ${\displaystyle x=0}$		(definido positivo)
	•	${\displaystyle \left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|}$		(multiplicidade)
	•	${\displaystyle \left|x+y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|}$		(desigualdade triangular)

Destes axiomas despréndese que |1| = 1 e |−1| = 1.

O " valor absoluto" clásico é aquel no que, por exemplo, |2| = 2, mais moitas outras funcións cumpren os requisitos indicados anteriormente, por exemplo a raíz cadrada do valor absoluto clásico (mais non o cadrado do mesmo).

Un valor absoluto induce unha métrica (e, polo tanto, unha topoloxía) mediante ${\displaystyle d(f,g)=|f-g|.}$

Exemplos

• O valor absoluto estándar dos números enteiros.
• O valor absoluto estándar dos números complexos.
• O valor absoluto p -ádico dos números racionais.
• Se R é o corpo de funcións racionais sobre un corpo F e ${\displaystyle p(x)}$ é un polinomio irreducíbel fixo sobre F, entón o seguinte define un valor absoluto en R: para ${\displaystyle f(x)}$ en R definamos ${\displaystyle |f|}$ como ${\displaystyle 2^{-n}}$, onde ${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$, e tamén ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

Tipos de valor absoluto

O valor absoluto trivial é o valor absoluto con |x| = 0 cando x = 0 e |x| = 1 en caso contrario.^[2] Todo dominio de integridade pode ter polo menos o valor absoluto trivial. O valor trivial é o único valor absoluto posíbel nun corpo finito porque calquera elemento distinto de cero pode elevarse a algunha potencia para producir 1.

Se un valor absoluto satisfai a propiedade máis forte |x + y | ≤ max(|x |, |y|) para todo x e y, entón |x| chámase valor absoluto ultramétrico ou non arquimediano, e doutro xeito chámase valor absoluto arquimediano.

Lugar

Se |x|₁ e |x|₂ son dous valores absolutos no mesmo dominio de integridade D, entón os dous valores absolutos son equivalentes se |x|₁ < 1 se e só se |x|₂ < 1 para todo x. Se dous valores absolutos non triviais son equivalentes, entón para algún expoñente e temos |x|₁^e = |x|₂ para tódolos x. Aumentar un valor absoluto a unha potencia inferior a 1 dá lugar a outro valor absoluto, pero elevar a unha potencia superior a 1 non ten como resultado necesariamente un valor absoluto. (Por exemplo, ao facer o cadrado do valor absoluto habitual nos números reais, obtemos unha función que non é un valor absoluto porque infrinxe a regra |x + y| ≤ |x|+|y|.) Os valores absolutos ata a equivalencia, ou noutras palabras, unha clase de equivalencia de valores absolutos, chámase lugar.

O teorema de Ostrowski afirma que os lugares non triviais dos números racionais Q son o valor absoluto ordinario e o valor absoluto p-ádico para cada primo p. Para un primo p dado, calquera número racional q pode escribirse como pⁿ(a/b ), onde a e b son números enteiros non divisíbeis por p e n é un número enteiro. O valor absoluto p-ádico de q é

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

Dado que o valor absoluto ordinario e os valores absolutos p-ádicos son valores absolutos segundo a definición anterior, estes definen lugares.

Valoracións

Se para algún valor absoluto ultramétrico e calquera base b > 1, definimos ν(x) = −log_b|x| para x ≠ 0 e ν (0) = ∞, onde ∞ está ordenado para ser maior que todos os números reais, entón obtemos unha función de D a R ∪ {∞}, coas seguintes propiedades:

• ν (x) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν (xy) = ν (x) + ν(y),
• ν (x + y) ≥ min(ν(x), ν (y)).

Tal función coñécese como valoración na terminoloxía de Bourbaki, mais outros autores usan o termo valoración para o valor absoluto e para a aquí definida falan de valoración exponencial en lugar de valoración.

Completamento

Dado un dominio de integridade D cun valor absoluto, podemos definir as secuencias de Cauchy de elementos de D con respecto ao valor absoluto esixindo que para cada ε > 0 hai un número enteiro positivo N tal que para todos os números enteiros m, n > N temos |x_m − x_n| < ε. As secuencias de Cauchy forman un anel baixo a suma e a multiplicación por puntos. Tamén se poden definir secuencias nulas como secuencias (a_n) de elementos de D tal que |a_n| converxe a cero. As secuencias nulas son un ideal primo no anel das secuencias de Cauchy e, polo tanto, o anel cociente é un dominio de integridade. O dominio D está mergullado neste anel cociente, chamado completamento de D con respecto ao valor absoluto |x|.

Dado que os corpos son dominios de integridade, esta tamén é unha construción para completar un corpo con respecto a un valor absoluto. Para mostrar que o resultado é un corpo, e non só un dominio de integridade, podemos ou ben mostrar que as secuencias nulas forman un ideal maximal, ou ben construír o inverso directamente. Isto último pódese facer facilmente tomando, para todos os elementos distintos de cero do anel cociente, unha secuencia que comeza desde un punto máis aló do último elemento cero da secuencia. Calquera elemento distinto de cero do anel cociente diferirá por unha secuencia nula da devandita secuencia, e facendo a inversión puntual podemos atopar un elemento inverso representativo.

Outro teorema de Alexander Ostrowski di que calquera corpo completo con respecto a un valor absoluto arquimediano é isomorfo aos números reais ou complexos, e a valoración é equivalente á habitual. O teorema de Gelfand-Tornheim afirma que calquera corpo cunha valoración arquimediana é isomorfo a un subcorpo de C, sendo a valoración equivalente ao valor absoluto habitual de C.^[3]

Corpos e dominios de integridade

Se D é un dominio de integridade con valor absoluto |x|, entón podemos estender a definición do valor absoluto ao corpo das fraccións de D configurando

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

Por outra banda, se F é un corpo con valor absoluto ultramétrico |x|, entón o conxunto de elementos de F tal que |x| ≤ 1 define un anel de valoración, que é un subanel D de F tal que para cada elemento distinto de cero x de F, polo menos un de x ou x⁻¹ pertence a D. Como F é un corpo, D non ten divisores de cero e é un dominio de integridade. Ten un ideal maximal único que consiste en todo x tal que |x| < 1 e, polo tanto, é un anel local.