Vectores fila e columna

Na álxebra linear, un vector columna con ${\displaystyle m}$ elementos é unha matriz ${\displaystyle m\times 1}$^[1], consta dunha única columna de ${\displaystyle m}$ entradas, por exemplo,

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}$

Do mesmo xeito, un vector fila é unha matriz ${\displaystyle 1\times n}$, consta dunha única fila de ${\displaystyle n}$ entradas,

${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$

(Neste artigo a letra grosa úsase tanto para vectores fila como vectores columna.)

A transposta (indicado por T) de calquera vector fila é un vector de columna, e a transposta de calquera vector columna é un vector fila:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$

O conxunto de todos os vectores fila con n entradas nun determinado corpo (como os números reais) forma un espazo vectorial de n dimensións; do mesmo xeito, o conxunto de todos os vectores columna con m entradas forman un espazo vectorial de m dimensións.

Notación

Para simplificar a escritura de vectores de columna en liña con outros textos, ás veces escríbense como vectores fila coa operación de transposición aplicada a eles.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$

Operacións

A multiplicación de matrices implica a acción de multiplicar cada vector fila dunha matriz por cada vector columna doutra matriz.

O produto escalar de dous vectores a, b, é igual ao produto matricial da transposta de a con b,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}}$.

O produto matricial dun vector columna e un vector fila dá o produto externo dos vectores a, b, un exemplo do máis xenérico produto tensorial:

${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}}$,

que é a transposta do produto matricial de b e a:

${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$

Un xeito de velo é que o produto de matrices de dimensións ${\displaystyle 1\times n}$ por ${\displaystyle n\times 1}$ é unha matriz de dimensións ${\displaystyle 1\times 1}$ que é un número resultado do produto escalar. Mentres que o produto de matrices de dimensións ${\displaystyle n\times 1}$ por ${\displaystyle 1\times n}$ é unha matriz de dimensións ${\displaystyle n\times n}$, neste caso produto externo.