Produto externo

En álxebra linear, o produto externo de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións n e m, entón o seu produto externo é unha matriz n × m.

De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.

O produto externo contrasta con:

• O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar
• O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques
• Multiplicación matricial estándar
• O produto exterior con características similares ao produto vectorial

Definición

Dados dous vectores de tamaño ${\displaystyle m\times 1}$ e ${\displaystyle n\times 1}$ respectivamente

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}$

o seu produto externo, denotado como ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,}$ defínese como a matriz ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ obtida multiplicando cada elemento de ${\displaystyle \mathbf {u} }$ por cada elemento de ${\displaystyle \mathbf {v} }$:^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$

Ou en notación de índice:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$

Indicando o produto puntual por ${\displaystyle \,\cdot ,\,}$ se se dá un terceiro vector ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ entón ${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .}$ Se se dá un terceiro vector ${\displaystyle 1\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ entón ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.}$

Se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón ${\displaystyle \det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0}$ .

O produto externo ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ é equivalente a unha multiplicación matricial ${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },}$ sempre que ${\displaystyle \mathbf {u} }$ se represente como un vector columna ${\displaystyle m\times 1}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ como un vector columna ${\displaystyle n\times 1}$ (que fai ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\operatorname {T} }}$ un vector fila). ^[2][3] Por exemplo, se ${\displaystyle m=4}$ e ${\displaystyle n=3,}$ entón

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$

Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ denotada como ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$ ou ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$ :

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}.}$

Contraste co produto escalar euclidiano

Se ${\displaystyle m=n,}$ entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz ${\displaystyle 1\times 1}$):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$

O produto externo de tensores

Dados dous tensores ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ con dimensións ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ e ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$, o seu produto externo ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ é un tensor con dimensións ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ e entradas

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$

Por exemplo, se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é de orde 3 con dimensións ${\displaystyle (3,5,7)}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é de orde 2 con dimensións ${\displaystyle (10,100),}$ entón o seu produto externo ${\displaystyle \mathbf {C} }$ é de orde 5 con dimensións ${\displaystyle (3,5,7,10,100).}$ Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ten unha compoñente A_{[2, 2, 4]} = 11 e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ten unha compoñente B_{[8, 88]} = 13, entón a compoñente de ${\displaystyle \mathbf {C} }$ formado polo produto externo é C_{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143.

Conexión co produto de Kronecker

O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.

Se ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$, temos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$, podemos escribir:

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$

Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }$

onde non é necesario invertir a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.

Conexión co produto matricial

Dado un par de matrices ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de tamaño ${\displaystyle m\times p}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ de tamaño ${\displaystyle p\times n}$, considere o produto matricial ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }$ definido como é habitual como unha matriz de tamaño ${\displaystyle m\times n}$.

Agora sexa ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}$ o ${\displaystyle k}$-ésimo vector columna de ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e sexa ${\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$ o ${\displaystyle k}$-ésimo vector fila de ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Daquela ${\displaystyle \mathbf {C} }$ pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila:

${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}$

Propiedades

O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$

O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$

Aplicacións

Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.^[4]

Espinores (Spinors)

Supoña s, t, w, z ∈ C de xeito que (s, t) e (w, z) estean en C². Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de M(2, C), como matrices complexas 2 × 2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$

O determinante desta matriz é swtz − sztw = 0 debido á propiedade conmutativa de C.

Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula.

Élie Cartan describiu esta construción en 1937, mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927 ^[5] polo que M(2,C) pasou a chamarse álxebra de Pauli.