מאפיין (אלגברה)

המאפיין (נקרא גם המציין או הקרקטריסטיקה) של שדה הוא המספר הטבעי n הקטן ביותר המקיים ${\displaystyle \overbrace {1+\cdots +1} ^{n}=0}$, אם קיים כזה, ו-0 אחרת. אם המאפיין של שדה הוא חיובי, הוא תמיד ראשוני.

דוגמאות

שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.

בשדה ממאפיין ${\displaystyle \ 0<p}$ מתקיים השוויון ${\displaystyle \ (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}}$, כלומר שהעלאה בחזקת p היא איזומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו הומומורפיזם פרובניוס).

הכללות

אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה ${\displaystyle R}$ באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-${\displaystyle n}$ לסכום של ${\displaystyle n}$ פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל-${\displaystyle R}$, שהגרעין שלו הוא האידיאל הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.

המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי ${\displaystyle n}$ קיים חוג בעל מאפיין ${\displaystyle n}$: חוג המנה ${\displaystyle \ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.

אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של ${\displaystyle R}$ הוא המספר המינימלי ${\displaystyle n}$ כך שסכום ${\displaystyle n}$ פעמים ${\displaystyle a+a+a+\dots +a}$ שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של החוג כחבורה קומוטטיבית.

ראו גם

במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד ספרביליות, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).