פאון ארכימדי

בגאומטריית המרחב, פאון ארכימדי הוא פאון קמור משוכלל למחצה, שאינו מנסרה או אנטי-מנסרה, ושלא כמו בפאונים האפלטוניים, לא כל פאותיו חופפות. בפרט, כל הפאות של פאון ארכימדי חופפות לאחד משני מצולעים משוכללים או יותר, אשר כולם בעלי אותו אורך צלע. כמו כן, כל הקודקודים זהים, כלומר, כל הפאות הנפגשות בקודקוד אחד חופפות לפאות הנפגשות בכל קודקוד אחר. את הפאונים הארכימדיים אפשר לבנות מחבורת הסימטריות שלהם באמצעות בניות ויטהוף.

מקור השם

הפאונים הארכימדיים נקראים על שם ארכימדס, שעסק בהם בספר שכל עותקיו אבדו. בתקופת הרנסאנס, אמנים ומתמטיקאים העריכו "צורות טהורות", וגילו מחדש את הפאונים הללו. החיפוש הושלם בסביבות 1619, כאשר יוהאנס קפלר הגדיר את המנסרות, אנטי-מנסרות והגופים הבלתי-קמורים הידועים בשם פאוני קפלר-פוינסוט.

מיון

יש שלושה-עשר פאונים ארכימדיים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב). פאון ארכימדי מאופיין על ידי תבנית הקודקודים, המכתיבה אלו מצולעים נפגשים בכל קודקוד. לדוגמה, בפאון שתבניתו 4.6.8 נפגשים בכל קודקוד ריבוע, משושה משוכלל, ומתומן משוכלל.

שם (תבנית קודקודים)	דמות שקופה	דמות אטומה	פריסה	פאות		מקצועות	קודקודים	טיפוס חבורת הסימטריה
ארבעון קטום או טטרהדרון קטום (3.6.6)	(אנימציה)			8	4 משולשים 4 משושים	18	12	Td
קובוקטהדרון (3.4.3.4)	(אנימציה)			14	8 משולשים 6 ריבועים	24	12	Oh
קובייה קטומה או הקסהדרון קטום (3.8.8)	(אנימציה)			14	8 משולשים 6 מתומנים	36	24	Oh
תמניון קטום או אוקטהדרון קטום (4.6.6)	(אנימציה)			14	6 ריבועים 8 משושים	36	24	Oh
רומביקובוקטהדרון או רומביקובוקטהדרון קטן (3.4.4.4)	(אנימציה)			26	8 משולשים 18 ריבועים	48	24	Oh
קובוקטהדרון קטום או רומביקובוקטהדרון גדול (4.6.8)	(אנימציה)			26	12 ריבועים 8 משושים 6 מתומנים	72	48	Oh
קובייה מסותתת או הקסהדרון מסותת או קובוקטהדרון מסותת (2 צורות כיווניות) (3.3.3.3.4)	(אנימציה) (אנימציה)			38	32 משולשים 6 ריבועים	60	24	O
איקוסידודקהדרון (3.5.3.5)	(אנימציה)			32	20 משולשים 12 מחומשים	60	30	Ih
תריסרון קטום או דודקהדרון קטום (3.10.10)	(אנימציה)			32	20 משולשים 12 מעושרים	90	60	Ih
עשרימון קטום או איקוסהדרון קטום או כדור באקי או 'כדורגל' (5.6.6)	(אנימציה)			32	12 מחומשים 20 משושים	90	60	Ih
רומביקוסידודקהדרון או רומביקוסידודקהדרון קטן (3.4.5.4)	(אנימציה)			62	20 משולשים 30 ריבועים 12 מחומשים	120	60	Ih
איקוסידודקהדרון קטום או רומביקוסידודקהדרון גדול (4.6.10)	(אנימציה)			62	30 ריבועים 20 משושים 12 מעושרים	180	120	Ih
דודקהדרון מסותת או איקוסידודקהדרון מסותת (2 צורות כיווניות) (3.3.3.3.5)	(אנימציה) (אנימציה)			92	80 משולשים 12 מחומשים	150	60	I

הקוביה המסותתת והדודקהדרון המסותת הם כיווניים, משום שיש להם גרסה ימנית (בלטינית - levomorph) וגרסה שמאלית (dectromorph). צורות אלה הן תמונות מראה זו של זו. זוגות בעלי תכונה זו נקראים (למשל בכימיה) אננטימורפיים.

הפאונים הדואליים לפאונים הארכימדיים נקראים פאוני קטלן. יחד עם הדו-פירמידות והטרפזוהדרונים, אלו הם הפאונים שכל הפאות שלהם חופפות (גם אם אינן משוכללות).

מקורות

• Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979

ראו גם

• פאון משוכלל למחצה
• פאון אחיד
• שמות פאונים

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: פאון ארכימדי
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: פאון ארכימדי

• פאון ארכימדי, באתר MathWorld (באנגלית)

עץ מיון של פאונים

פאון פאון                                                                                                         מנסרה מנסרה אנטי-מנסרה אנטי-מנסרה               דו פירמידה דו פירמידה   פירמידה פירמידה                                           מנסרה ישרה מנסרה ישרה   אנטי מנסרה ישרה אנטי מנסרה ישרה     דו פירמידה סימטרית דו פירמידה סימטרית דו פירמידה ישרה דו פירמידה ישרה דו פירמידה משוכללת דו פירמידה משוכללת                                                                   פאון משוכלל למחצה פאון משוכלל למחצה ${\displaystyle \,\cup }$   דואלי לפאון משוכלל למחצה דואלי לפאון משוכלל למחצה ${\displaystyle \,\cup }$   דו פירמידה סימטרית ישרה משוכללת דו פירמידה סימטרית ישרה משוכללת פירמידה ישרה פירמידה ישרה   פירמידה משוכללת פירמידה משוכללת                                                                   מנסרה משוכללת מנסרה משוכללת ${\displaystyle \,\cap }$   אנטי מנסרה משוכללת אנטי מנסרה משוכללת ${\displaystyle \,\cap }$   פאון ארכימדי פאון ארכימדי   פאון משוכלל פאון משוכלל ${\displaystyle \,\cap }$   פאון קטלן פאון קטלן טרפזוהדרון (משוכלל) טרפזוהדרון (משוכלל) דו פירמידה דואלית לפאון משוכלל למחצה דו פירמידה דואלית לפאון משוכלל למחצה ${\displaystyle \,\cap }$   פירמידה ישרה משוכללת פירמידה ישרה משוכללת                                             מקרא   מחלקה של פאונים (תלת-ממדיים)   מחלקה של פאונים קמורים ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים. ${\displaystyle \cup }$ מחלקה המכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיאות בתרשים   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה       ארבעון ארבעון ${\displaystyle \,\cap }$                                                                                                                                 קובייה קובייה ${\displaystyle \,\cap }$       תמניון תמניון ${\displaystyle \,\cap }$