From Wikipedia, the free encyclopedia
A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkal[1] kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a valós vonalon lévő függvények Fourier-transzformációjával, periodikus függvényeknél[2] pedig Fourier-sorokkal találjuk meg. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselmélet[3], a jelfeldolgozás , a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.
A "harmónia"ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas".[4] A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.
kifejezés azTörténelmileg a harmonikus függvények a Laplace-egyenlet megoldásai voltak[5], ezt a fogalmat először speciális függvényekre[6][7], majd általános elliptikus operátorokra[8][9] terjesztették ki, napjainkban pedig a harmonikus függvényeket a periodikus függvények általánosításának tekintik[10] a sokaságon meghatározott függvénytereken, például általános, nem feltétlenül elliptikus parciális differenciálegyenletek[11] megoldásaként, beleértve bizonyos peremfeltételeket, amelyek szimmetriát vagy periodicitást[12] eredményezhetnek.[13]
A klasszikus Fourier-transzformáció az Rn-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tétel[14] azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatás[15] függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben. A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően:
Az absztrakt harmonikus analízis elsősorban azzal foglalkozik, hogy a valós vagy komplex értékű függvények (gyakran nagyon általános tartományokon) hogyan tanulmányozhatók szimmetriák, például transzlációk vagy rotációk segítségével (például a Fourier-transzformáción és rokonain keresztül); ez a terület természetesen rokon a valós változós harmonikus analízissel, de szellemiségében talán közelebb áll az ábrázoláselmélethez[18] és a funkcionálanalízishez.[13]
A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportok[19] analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók Hausdorff lokálisan kompakt[20] topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.[21]
Az abeli lokálisan kompakt[20] csoportokra vonatkozó elméletet Pontrjagin[22] kettősségnek nevezik.[23]
A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féle Lie-csoportok esetére.[24]
Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportok[25] esetében a Peter–Weyl-tétel[26] megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációt .[27] A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúra bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzés .[28]
Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tétel[29]). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SLn-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációk[30] döntő szerepet játszanak.
A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.
A kísérleti megközelítés általában a jelenséget pontosan számszerűsítő adatok beszerzése. Például az árapályok tanulmányozása során a kísérletvezető mintákat vett a vízmélységről az idő függvényében, elég szoros időközönként ahhoz, hogy lássa az egyes oszcillációkat, és elég hosszú ideig ahhoz, hogy valószínűleg több oszcillációs periódus is beletartozzon. A rezgő húrokon végzett vizsgálat során gyakori, hogy a kísérletező a várt legmagasabb frekvencia legalább kétszeresével és a legalacsonyabb frekvencia várható periódusának sokszorosával mintavételezett hanghullámot kap.
Például a jobb oldali felső képen lévő jel egy basszusgitár hanghulláma, amely egy A hangnak megfelelő nyitott húron játszik 55 Hz-es alapfrekvenciával. A hullámforma oszcillálónak tűnik, de összetettebb, mint egy egyszerű szinuszhullám, ami további hullámok jelenlétét jelzi. A hanghoz hozzájáruló különböző hullámösszetevők feltárhatók a Fourier-transzformáció néven ismert matematikai elemzési technika alkalmazásával, melynek eredményét az alsó ábra mutatja. Vegye figyelembe, hogy van egy kiemelkedő csúcs 55 Hz-en, de vannak más csúcsok is 110 Hz-en, 165 Hz-en és más frekvenciákon, amelyek az 55 Hz egész számú többszöröseinek felelnek meg. Ebben az esetben az 55 Hz-et a húrrezgés alapfrekvenciájaként azonosítjuk, az egész többszöröseket pedig harmonikusoknak[32] nevezzük.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.