Loading AI tools
Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Dalam matematika, notasi Sigma adalah penjumlahan dari suatu urutan bilangan apa pun, hasilnya adalah jumlah atau total mereka. Selain bilangan, tipe nilai lainnya dapat dijumlahkan juga: fungsi, vektor, matriks, polinomial dan, secara umum, anggota dari semua jenis objek matematika di mana operasi yang dilambangkan "+" didiefinisikan.
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Summation di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Penjumlahan tak hingga disebut deret tak hingga. Mereka melibatkan konsep limit, dan tidak dipertimbangkan dalam artikel ini.
Penjumlahan dari urutan eksplisit dilambangkan sebagai suksesi penambahan. Sebagai contoh, penjumlahan dilambangkan , dan menghasilkan , yaitu, . Karena penambahan bersifat asosiatif dan komutatif, maka tidak perlu tanda kurung, dan hasilnya tidak tergantung pada urutan puncak. Penjumlahan dari urutan hanya satu elemen menghasilkan elemen ini sendiri. Penjumlahan dari urutan kosong (urutan dengan elemen nol) hasil, dengan konvensi, dalam 0.
Sangat sering, elemen-elemen dari suatu urutan didefinisikan, melalui pola reguler, sebagai fungsi tempat mereka dalam urutan. Untuk pola sederhana, penjumlahan dari deretan panjang dapat direpresentasikan dengan sebagian besar penjumlahan digantikan oleh elips. Sebagai contoh, penjumlahan dari 100 bilangan asli pertama dapat ditulis . Jika tidak, penjumlahan dinotasikan dengan menggunakan notasi Σ, di mana adalah huruf Yunani Sigma yang diperbesar. Sebagai contoh, jumlah bilangan bulat alami pertama dilambangkan .
Untuk penjumlahan panjang, dan penjumlahan dari panjang variabel (didefinisikan dengan elips atau notasi Σ), itu adalah masalah umum untuk menemukan ekspresi bentuk-tertutup untuk hasilnya. Sebagai contoh,
.
Meskipun rumus seperti itu tidak selalu ada, banyak rumus penjumlahan telah ditemukan. Beberapa yang paling umum dan dasar tercantum dalam artikel ini.
Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, , bentuk diperbesar dari huruf Yunani tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:
Dimana adalah indeks penjumlahan; adalah variabel yang diindeks yang mewakili setiap istilah dari jumlah; adalah batas bawah penjumlahan, dan adalah batas atas penjumlahan. "" di bawah simbol penjumlahan berarti bahwa indeks saya mulai sama dengan . Indeks, , bertambah satu untuk setiap istilah berturut-turut, berhenti ketika .
Ini dibaca "penjumlahan pada dari ke ".
Berikut adalah contoh yang menunjukkan penjumlahan kuadrat:
.
Penulisan informal terkadang menghilangkan definisi indeks dan batasan penjumlahan ketika ini jelas dari konteksnya, seperti pada:
Kita sering melihat generalisasi dari notasi ini di mana suatu kondisi logis sebarang disediakan, dan jumlah tersebut dimaksudkan untuk diambil alih semua nilai yang memenuhi kondisi tersebut. Berikut ini beberapa contoh umum:
adalah jumlah pada untuk seluruh bilangan bulat dalam rentang yang ditentukan,
adalah jumlah pada , untuk seluruh anggota pada himpunan .
adalah jumlah pada , untuk seluruh bilangan bulat positif membagi .
Ada juga cara untuk menggeneralisasi penggunaan banyak notasi Sigma. Sebagai contoh,
Ini sama saja dengan
.
Notasi yang sama diterapkan ketika datang untuk menunjukkan produk dari suatu urutan, yang mirip dengan notasi Sigma, tetapi yang menggunakan operasi perkalian alih-alih penambahan (dan memberikan 1 untuk urutan kosong, bukan 0). Struktur dasar yang sama digunakan, dengan , adalah huruf kapital Pi Yunani, menggantikan .
Dimungkinkan untuk menjumlahkan kurang dari 2 angka:
Penjumlahan dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut
.
Dalam notasi teori ukuran dan integrasi, jumlah dapat dinyatakan sebagai integral tentu,
di mana adalah himpunan bagian bilangan bulat dari ke , dan di mana adalah ukuran penghitungan.
Diberikan fungsi yang didefinisikan atas bilangan bulat dalam interval , kita memiliki:
,
dimana:
adalah turunan dari fungsi .
Contoh penerapan persamaan di atas adalah:
Dengan menggunakan teorema binomial, ini ditulis ulang sebagai:
.
Rumus di atas lebih umum digunakan untuk membalik dari operator selisih yang didefinisikan oleh
Dimana adalah fungsi yang didefinisikan pada bilangan bulat tidak negatif. Jadi, mengingat fungsi seperti itu, masalahnya adalah menghitung antiselisih dari , yaitu fungsi sedemikian rupa sehingga , yaitu, . Fungsi ini didefinisikan hingga penambahan konstanta, dan dapat dipilih sebagai:
Tidak selalu ada ekspresi bentuk-tertutup untuk penjumlahan tersebut, tetapi rumus Faulhaber menyediakan formulir tertutup dalam kasus dan, dengan linearitas untuk setiap fungsi polinomial .
Banyaknya aproksimasi semacam itu dapat diperoleh dengan koneksi berikut antara notasi Sigma dan integral, yang berlaku untuk semua:
Peningkatan fungsi
.
Penurunan fungsi
Untuk perkiraan yang lebih umum, lihat rumus Euler-Maclaurin.
Untuk penjumlahan di mana penjumlahan diberikan (atau dapat diinterpolasi) oleh fungsi indeks yang dapat diintegrasikan, penjumlahan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai jumlah Riemann yang terjadi dalam integral tentu yang sesuai.
.
karena sisi kanan adalah definisi batas untuk dari sisi kiri. Namun, untuk penjumlahan tertentu diperbaiki, dan sedikit yang bisa dikatakan tentang kesalahan dalam perkiraan di atas tanpa asumsi tambahan tentang : jelas bahwa untuk fungsi berosilasi liar, jumlah Riemann dapat secara sebarang jauh dari integral Riemann.
Rumus di bawah ini melibatkan jumlah terbatas; untuk penjumlahan tak terhingga atau penjumlahan terhingga pada ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri atau fungsi transendental lainnya, lihat daftar deret-deret matematika.
, (distributif)
, (pergeseran indeks)
, untuk bijeksi dari himpunan terbatas ke himpunan (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.
, (memecahkan jumlah, menggunakan sifat asosiatif).
, (varian dari rumus sebelumnya).
, (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).
, (kasus rumus tertentu di atas).
, (penerapan pada asosiatif dan komutatif)
, (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)
, (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)
, (distributif)
, (distributif yang memungkinkan faktorisasi)
, (logaritma suatu produk adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)
, (eksponensial dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)
, untuk setiap yang tidak bergantung pada .
, (jumlah dari perkembangan aritmetika yang paling sederhana, terdiri dari bilangan asli pertama)
, (jumlah bilangan asli ganjil pertama).
, (jumlah bilangan asli genap pertama).
, (jumlah dari logaritma adalah logaritma produk)
, (jumlah kuadrat pertama, lihat bilangan piramidal persegi)
Lebih umum, terdapat rumus Faulhaber,
Dimana melambangkan bilangan Bernoulli, dan adalah koefisien binomial.
Dalam penjumlahan berikut, diasumsikan berbeda dari .
, (jumlah pada sebuah deret geometri)
, (kasus spesial untuk )
, ( dikali turunan terhadap pada deret geometri)
, (jumlah pada sebuah deret aritmetika-geometri)
Artikel Utama: Koefisien Binomial dan Jumlah pada Koefisien Binomial
Ada sangat banyak penjumlahan identitas yang melibatkan koefisien binomial (seluruh bab Concrete Mathematics dikhususkan hanya untuk teknik dasar). Beberapa yang paling mendasar adalah sebagai berikut.
, kasus spesial untuk .
, kasusu spesial dimana , dimana , mengekspresikan jumlah pada distribusi binomial.
, nilai ketika pada turunan terhadap pada teorema binomial.
, nilai ketika pada antiturunan terhadap pada teorema binomial.
Dalam penjumlahan berikut, adalah jumlah permutasi dari .
, dimana menyatakan fungsi floor.
, (itu adalah bilangan harmonik )
, (itu adalah bilangan harmonik umum )
Berikut ini adalah aproksimasi yang berguna (menggunakan notasi theta):c
, untuk bilangan real lebih besar daripada .
, lihat bilangan Harmonik.
, untuk bilangan real lebih besar daripada .
, untuk bilangan real non-negatif .
, untuk bilangan real non-negatif , .
, untuk bilangan real non-negatif , , .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.