Teorema Euler

Dalam teori bilangan, teorema Euler (dikenal juga sebagai teorema Fermat–Euler atau teorema totien Euler) menyatakan bahwa jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle n}$ merupakan bilangan asli yang saling prima, maka ${\displaystyle a^{\varphi (n)}}$ akan kongruen dengan ${\displaystyle 1}$ dalam modulo ${\displaystyle n}$, dengan ${\displaystyle \varphi (n)}$ menyatakan fungsi phi Euler. Secara simbolis, maka hal ini dapat dinyatakan sebagai

Artikel ini berisi tentang Teorema Euler dalam teori bilangan. Untuk kegunaan lain, lihat Daftar topik yang dinamai berdasarkan Leonhard Euler.

$${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$$

Pada tahun 1736, Leonhard Euler menerbitkan bukti dari teorema kecil Fermat^[1] (yang dikemukakan oleh Fermat tetapi tanpa bukti), yang merupakan kasus khusus dari teorema Euler ketika ${\displaystyle n}$ merupakan bilangan prima. Euler kemudian memberikan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada paper tahun 1763 miliknya, di mana ia membuktikan perumuman untuk kasus ${\displaystyle n}$ bukan bilangan prima.^[2]

Konvers dari teorema Euler juga berlaku: jika berlaku kekongruenan di atas, maka ${\displaystyle a}$ haruslah relatif prima dengan ${\displaystyle n}$.

Teorema Euler dapat diperumum lebih lanjut dengan teorema Carmichael.

Teorema Euler dapat digunakan untuk menyederhanakan nilai pangkat yang besar pada modulo ${\displaystyle n}$. Misalnya, untuk mencari digit terakhir dari ${\displaystyle 7^{222}}$ (atau dengan kata lain, mencari nilai dari ${\displaystyle 7^{222}}$ dalam modulo ${\displaystyle 10}$), perhatikan bahwa nilai ${\displaystyle \varphi (10)=4}$, dan pasangan bilangan 7 dan 10 saling koprima. Berdasarkan teorema Euler, maka didapatkan ${\displaystyle 7^{4}\equiv 1{\pmod {10}}}$. Akibatnya,

$${\displaystyle 7^{222}\equiv 7^{4\times 55+2}\equiv (7^{4})^{55}\times 7^{2}\equiv 1^{55}\times 7^{2}\equiv 49\equiv 9{\pmod {10}}}$$

Secara umum, saat menyederhanakan nilai pangkat dari ${\displaystyle a}$ pada modulo ${\displaystyle n}$ (dengan ${\displaystyle a}$ koprima dengan ${\displaystyle n}$), maka cukup bekerja pada modulo ${\displaystyle \varphi (n)}$ dari perpangkatan ${\displaystyle a}$:

jika ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {\varphi (n)}}}$, maka ${\displaystyle a^{x}\equiv a^{y}{\pmod {n}}}$.

Teorema Euler menjadi dasar kriptosistem RSA, yang banyak digunakan dalam komunikasi di internet. Dalam kriptosistem ini, teorema Euler digunakan dengan memilih bilangan ${\displaystyle n}$ sebagai hasil kali dari dua bilangan prima besar. Tingkat keamanan dari sistem ini didasarkan pada tingkat kesulitan dari proses pemfaktoran bilangan ${\displaystyle n}$.

Bukti

Terdapat beberapa cara untuk membuktikan Teorema Euler, berikut dua diantaranya.

Teori grup

Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari teori grup:^[3]

Bukti —

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Misalkan ${\displaystyle N}$ menyatakan himpunan kelas-kelas residu modulo ${\displaystyle n}$ yang relatif prima dengan ${\displaystyle n}$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle N}$ membentuk struktur aljabar grup terhadap operasi perkalian (lihat artikel Grup perkalian bilangan bulat modulo n). Orde dari grup ${\displaystyle N}$ ini ialah ${\displaystyle \varphi (n)}$.

Untuk sembarang ${\displaystyle a\in N}$, maka terdapat suatu bilangan asli ${\displaystyle k}$ sedemikian sehingga $${\displaystyle a^{k}\equiv 1{\pmod {n}}}$$ Akibatnya, himpunan $${\displaystyle A=\left\{a,\,a^{2},\,a^{3},\,\ldots ,\,a^{k}\right\}}$$ membentuk subgrup dari ${\displaystyle N}$ terhadap operasi perkalian. Berdasarkan teorema Lagrange, maka orde dari ${\displaystyle A}$ harus membagi orde dari ${\displaystyle N}$. Dengan kata lain, terdapat suatu ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ sedemikian sehingga ${\displaystyle \varphi (n)=mk}$. Hal ini mengakibatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{k}&\equiv 1{\pmod {n}}\\(a^{k})^{m}&\equiv 1^{m}{\pmod {n}}\\a^{km}&\equiv 1{\pmod {n}}\\a^{\varphi (n)}&\equiv 1{\pmod {n}}\end{aligned}}}$$

Bukti langsung

Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:^[4][5]

Bukti —

Diambil sembarang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Misalkan $${\displaystyle R=\left\{x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\ldots ,\,x_{\varphi (n)}\right\}}$$ adalah sistem residu tereduksi modulo ${\displaystyle n}$. Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan $${\displaystyle aR=\left\{ax_{1},\,ax_{2},\,ax_{3},\,\ldots ,\,ax_{\varphi (n)}\right\}=R}$$ untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle a}$ yang relatif prima dengan ${\displaystyle n}$. Dengan kata lain, himpunan ${\displaystyle R}$ identik dengan himpunan ${\displaystyle aR}$—keduanya memiliki anggota yang sama, tetapi urutannya mungkin saja berbeda. Akibatnya, darab dari semua bilangan pada ${\displaystyle aR}$ akan kongruen dengan darab dari semua bilangan pada ${\displaystyle R}$.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(ax_{1})(ax_{2})(ax_{3})\ldots (ax_{\varphi (n)})&\equiv x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{\varphi (n)}{\pmod {n}}\\a^{\varphi (n)}\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{\varphi (n)}&\equiv 1\cdot x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{\varphi (n)}{\pmod {n}}\end{aligned}}}$$

Oleh karena setiap ${\displaystyle x_{i}}$ relatif prima dengan ${\displaystyle n}$, maka setiap ${\displaystyle x_{i}}$ memiliki elemen invers dalam modulo ${\displaystyle n}$, sehingga dengan "mencoret" setiap ${\displaystyle x_{i}}$ pada kedua ruas, didapatkan teorema Euler.

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\varphi (n)}\cdot {\cancel {x_{1}}}\cdot {\cancel {x_{2}}}\cdot {\cancel {x_{3}}}\cdot \ldots \cdot {\cancel {x_{\varphi (n)}}}&\equiv 1\cdot {\cancel {x_{1}}}\cdot {\cancel {x_{2}}}\cdot {\cancel {x_{3}}}\cdot \ldots \cdot {\cancel {x_{\varphi (n)}}}{\pmod {n}}\\a^{\varphi (n)}&\equiv 1{\pmod {n}}\end{aligned}}}$$

Lihat pula

• Bilangan Carmichael
• Kriteria Euler
• Teorema kecil Fermat
• Teorema Wilson