Turunan kedua

Dalam kalkulus, turunan kedua (bahasa Inggris: second derivative atau second order derivative) dari suatu fungsi f adalah turunan atau derivatif dari turunan f. Dalam garis besar, dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu benda terhadap waktu adalah percepatan sesaat benda, atau laju perubahan kecepatan benda. Dalam notasi Leibniz:

${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$,

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

The second derivative of a quadratic function is constant.

dimana a adalah percepatan, v adalah kecepatan, x adalah posisi, dan d adalah perubahan atau selisih sesaat. Bentuk terakhir ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ merupakan turunan kedua dari posisi (x) terhadap waktu.

Pada grafik fungsi, turunan kedua bersangkutan dengan kelengkungan atau kecekungan grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah.

Turunan kedua dari aturan pangkat

Turunan pertama dari aturan pangkat, jika diturunkan dua kali, akan menghasilkan turunan kedua dari aturan pangkat sebagai berikut.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}[x^{n}]=n(n-1)x^{(n-2)}=(n^{2}-n)x^{(n-2)}}$.

Notasi

Informasi lebih lanjut: Notasi diferensiasi

Turunan kedua suatu fungsi ${\displaystyle f(x)\!}$ biasanya diberi lambang ${\displaystyle f''(x)\!}$. Yaitu:

${\displaystyle f''=(f')'\!}$

Jika menggunakan Notasi Leibniz untuk turunan, turunan kedua dari variabel dependent y terhadap suatu variabel independent x ditulis

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Notasi ini diturunkan dari formula berikut:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Pustaka

Cetak

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (Edisi 8th), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (Edisi 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (Edisi 2nd), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (Edisi 6th), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (Edisi 4th), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (Edisi 3rd), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (Edisi 5th), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Edisi Revised, Updated, Expanded), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3. (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5. (Indonesia)

Buku-buku online

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, diarsipkan dari asli tanggal 2006-04-15, diakses tanggal 2014-12-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, diarsipkan dari asli tanggal 2005-09-11, diakses tanggal 2014-12-15
• Wikibooks, Calculus

Pranala luar

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points