Brotaregla

Brotaregla^[1] eða hlutfallsregla^[1] er regla í örsmæðareikningi til að finna afleiðu sem er kvóti (hlutfall) tveggja annarra falla, sem eru diffranleg.

Örsmæðareikningur

Undirstöðusetning Markgildi Samfelldni Vigurgreining Þinreikningur Meðalgildissetningin

Deildun (diffrun)

Margfeldisreglan Brotareglan Keðjureglan Fólgið fall Setning Taylors Listi yfir afleiður

Heildun (tegrun)

Listi yfir heildi Óeiginlegt heildi Hlutheildun Hringheildun Heildun snúða Innsetningaraðferðin Innsetning hornafalla Heildun ræðra falla

Ef hægt er að skrifa fallið ${\displaystyle f(x)}$ sem

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

þar sem ${\displaystyle h(x)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$, þá segir reglan að afleiðan af ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ jafngildi:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}$

Það er að segja að ef öll ${\displaystyle x}$ í einhverju opnu mengi sem innihalda töluna ${\displaystyle a}$ fullnægja því að ${\displaystyle h(x)}$ ≠ ${\displaystyle 0}$; og að ${\displaystyle g'(a)}$ og ${\displaystyle h'(a)}$ séu bæði ti þá er ${\displaystyle f'(a)}$ til og jafngildir:

${\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.}$

Dæmi

Dæmi 1

Til að finna afleiðuna af

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{x+1}}}$

þar sem við segjum að

${\displaystyle g(x)=2}$

${\displaystyle h(x)=x+1}$

en þá er afleiðan af ${\displaystyle g(x)}$ núll, og afleiðan af ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle h'(x)=1}$.

Afleiðan af ${\displaystyle f(x)}$ er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\left(0\cdot (x+1)\right)-\left(2\cdot 1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}}={\frac {-2}{(x+1)^{2}}}={\frac {-2}{x^{2}+2x+1}}}$

og þá sést að afleiðan af ${\displaystyle f(x)}$ sé ${\displaystyle {\frac {-2}{x^{2}+2x+1}}}$.

Dæmi 2

Afleiðan af ${\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)}$ þar sem við segjum að

${\displaystyle g(x)=4x-2}$

${\displaystyle h(x)=x^{2}+1}$

er:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

Afleiða ${\displaystyle \sin(x)/x^{2}}$ (þegar ${\displaystyle x}$ ≠ 0) er hliðstæða dæmisins að ofan og jafngildir:

${\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}$

Dæmi 3

Annað dæmi er:

${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}}$

þar sem við segjum að

${\displaystyle g(x)=2x^{2}}$

${\displaystyle h(x)=x^{3}}$

en þá er afleiðan af ${\displaystyle g(x)}$ jöfn ${\displaystyle g'(x)=4x}$ og afleiðan af ${\displaystyle h(x)}$ jöfn og ${\displaystyle h'(x)=3x^{2}}$.

Afleiðan af ${\displaystyle f(x)}$ er þá ákveðin á eftirfarandi hátt:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}=-{\frac {2}{x^{2}}}}$

Hægt er að athuga þetta með því að nota veldisvísaregluna og veldisregluna:

${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}={\frac {2}{x}}=2x^{-1}}$

og þegar maður diffrar ${\displaystyle f(x)=2x^{-1}}$ fæst:

${\displaystyle f'(x)=-2x^{-2}=-{\frac {2}{x^{2}}}}$.