Rombo (geometria)

Il rombo, o losanga^[1], è un poligono che ha quattro lati congruenti, ovvero della stessa lunghezza.

Rombo

Nonostante la congruenza dei lati, il rombo non può essere considerato un poligono regolare poiché non è necessariamente equiangolo. Le diagonali del rombo hanno di solito lunghezza diversa, e sono denominate diagonale maggiore e diagonale minore.

Il rombo è considerabile come un parallelogramma dai lati congruenti. Il quadrato è un particolare tipo di rombo che ha tutti gli angoli congruenti, e le due diagonali congruenti.

Proprietà del rombo

Lati

I lati opposti di un rombo sono paralleli; esso è quindi un caso particolare di parallelogramma e, come già indicato precedentemente, è un poligono equilatero, perché ha tutti i lati congruenti.

Diagonali

Essendo un quadrilatero, anche il rombo ha due diagonali; esse hanno la caratteristica di essere perpendicolari fra loro e di intersecarsi nel loro punto medio. Ciascuna diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli, che sono congruenti. Le due diagonali costituiscono anche le bisettrici degli angoli.

Angoli

Gli angoli opposti sono congruenti, vale a dire hanno uguale ampiezza, per cui

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {C}}=\alpha$ ;}

${\displaystyle {\hat {B}}={\hat {D}}=\beta .}$

Due angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, con somma quindi uguale a 180°:

${\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }.}$

Come in ogni quadrilatero, la somma degli angoli interni è sempre 360°, ossia un angolo giro.

Altezza del rombo

Le altezze di un rombo sono congruenti. L'altezza ${\displaystyle h}$ del rombo è congruente al diametro della circonferenza inscritta al rombo o al rapporto tra l'area e un lato, che è preso come base:

${\displaystyle h=2r={\frac {A}{a}}.}$

Perimetro del rombo

Se ${\displaystyle a}$ è il lato del rombo, il suo perimetro ${\displaystyle 2p}$ è dato da:

${\displaystyle 2p=4a.}$

Area del rombo

L'area del rombo si può calcolare in quattro modi:

1. come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base ${\displaystyle a}$, coincidente con un lato del rombo, per l'altezza ${\displaystyle h}$:

   ${\displaystyle A=ah,}$

2. moltiplicando la diagonale maggiore ${\displaystyle d_{1}}$ per la diagonale minore ${\displaystyle d_{2}}$ e dividendo il risultato per ${\displaystyle 2}$^[2]:

   ${\displaystyle A={{d_{1}d_{2}} \over {2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}},}$

3. moltiplicando il semiperimetro ${\displaystyle p}$ per il raggio ${\displaystyle r}$ della circonferenza inscritta^[3]:

   ${\displaystyle A=pr,}$

4. infine, calcolando il quadrato del lato ${\displaystyle a}$ e moltiplicandolo per il seno di uno qualunque degli angoli interni^[4]

   ${\displaystyle A=a^{2}\sin \alpha =a^{2}\sin \beta .}$

   In merito a questa quarta formula per il calcolo dell'area vanno notati alcuni punti:

   • ${\displaystyle \sin \alpha }$ e ${\displaystyle \sin \beta }$ sono uguali perché ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono angoli supplementari: questo è il motivo per cui si può usare indifferentemente l'uno o l'altro;
   • il rombo produce la sua massima area quando i lati sono perpendicolari fra loro a formare un quadrato: in tal caso ${\displaystyle \sin \alpha }$ e ${\displaystyle \sin \beta }$ sono uguali a ${\displaystyle 1}$ e la formula si identifica con quella del quadrato ossia diventa

   ${\displaystyle A={a^{2}};}$

   • man mano che il rombo si "schiaccia", ${\displaystyle \sin \alpha }$ e ${\displaystyle \sin \beta }$ diventano minori di ${\displaystyle 1}$ e quindi l'area del rombo diventa più piccola rispetto a quella del quadrato da cui si era partiti;
   • infine, schiacciando totalmente il rombo fino ad avere ${\displaystyle \alpha =0}$ e quindi ${\displaystyle \sin \alpha =0}$, la sua area diventa nulla.