Distribuzione di Fisher-Snedecor

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor (o F di Snedecor, o Z di Fisher^[1]) è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni ${\displaystyle \chi ^{2}}$.

Distribuzione di Fisher-Snedecor
Funzione di densità di probabilità i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Funzione di ripartizione i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Parametri	${\displaystyle d_{1},d_{2}>0}$ (gradi di libertà)
Supporto	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\ d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$ con ${\displaystyle \mathrm {B} }$ la funzione beta)
Funzione di ripartizione	${\displaystyle I_{\tfrac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}$ (con ${\displaystyle I}$ la funzione beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$ se ${\displaystyle d_{2}>2}$ infinita altrimenti
Moda	${\displaystyle 0\ }$ se ${\displaystyle m\leqslant 2}$ ${\displaystyle {\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}}$ se ${\displaystyle m\geqslant 2}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}}$ per ${\displaystyle n>4}$ non definita altrimenti

Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.

Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).

Definizione

La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali ${\displaystyle (m,n)}$ governa la variabile aleatoria

${\displaystyle F={\frac {X/m}{Y/n}}}$,

dove ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono variabili aleatorie indipendenti con rispettive distribuzioni chi quadrato con ${\displaystyle m}$ ed ${\displaystyle n}$ gradi di libertà, ${\displaystyle \chi ^{2}(m)}$ e ${\displaystyle \chi ^{2}(n)}$.

Caratteristiche

La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (m,n)}$ ha funzione di densità di probabilità

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}}{\frac {1}{x}}\left({\frac {m^{m}n^{n}x^{m}}{(mx+n)^{m+n}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$,

dove ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ è la funzione beta.

La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione beta incompleta regolarizzata,

${\displaystyle F(x)=I_{\tfrac {mx}{mx+n}}({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$.

La distribuzione ha momenti semplici di ordine ${\displaystyle k}$ infiniti per ${\displaystyle k>n/2}$, altrimenti pari a

${\displaystyle \mu _{k}={\frac {n^{k}}{m^{k}}}\cdot {\frac {m(m+2)(m+4)\cdots (m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots (n-2k)}}}$.

In particolare ha

• speranza matematica pari a

  ${\displaystyle E[F]={\frac {n}{n-2}}{\mbox{ per }}n>2;}$

• varianza pari a

  ${\displaystyle {\text{Var}}(X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}{\mbox{ per }}n>4;}$

• indice di asimmetria pari a

  ${\displaystyle \gamma _{1}=2{\sqrt {\tfrac {2(n-4)}{m(m+n-2)}}}{\tfrac {2m+n-2}{n-6}}{\mbox{ per }}n>6;}$

• indice di curtosi pari a

  ${\displaystyle \gamma _{2}=12\cdot {\frac {n^{3}+5mn^{2}+5m^{2}n-8n^{2}-32mn+22m^{2}+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)}}{\mbox{ per }}n>8.}$

La sua moda è ${\displaystyle 0}$ se ${\displaystyle m\leqslant 2}$ e

${\displaystyle {\frac {m-2}{m}}{\frac {n}{n+2}}}$ se ${\displaystyle m\geqslant 2}$.

Altre distribuzioni

Per definizione, se una variabile aleatoria ${\displaystyle F={\tfrac {X/m}{Y/n}}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (m,n)}$, allora la sua inversa ${\displaystyle F^{-1}={\tfrac {Y/n}{X/m}}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (n,m)}$. Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:

${\displaystyle P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1})}$.

Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ nella definizione di ${\displaystyle F={\tfrac {X/m}{Y/n}}}$ può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.

Se ${\displaystyle T}$ è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro ${\displaystyle \nu }$, allora ${\displaystyle F=T^{2}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (1,\nu )}$.

Se ${\displaystyle T^{2}}$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri ${\displaystyle (p,m)}$, allora ${\displaystyle F={\tfrac {m-p+1}{mp}}T^{2}}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (p,m-p+1)}$.

Se la variabile aleatoria ${\displaystyle F}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri ${\displaystyle (m,n)}$, allora ${\displaystyle B={\frac {mF}{mF+n}}}$ segue la distribuzione Beta ${\displaystyle \mathrm {B} ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$.