レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した^{[注釈 1]}。

10進法における n 桁のレピュニットは ${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}}$ の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、R_n は素数となる。2進法における n 桁のレピュニットはメルセンヌ数 ${\displaystyle (M_{n}=2^{n}-1)}$ である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数（またはレプユニット素数、英: Repunit prime）という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 だけである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 だけであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるので、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

• 偶数 - 11
  • 4の倍数 - 11・101
  • 6の倍数 - 3・7・11・13・37
• 3の倍数 - 3・37
• 5の倍数 - 41・271
• 7の倍数 - 239・4649
• 17の倍数 - 2071723・5363222357

など

901型の例

前述のとおり、R_2n は11つまりR₂ で割り切れる。同様に、2×n桁のR_2n は、n桁のR_n で割り切れる。さらに、nが奇数のとき、R_n は11で割り切れないから、R₂ と R_n は互いに素となる。よって、R_2nは、R₂ × R_n で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、n−1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると、次のようになる。

n（奇数）	2 × n	R2n	R2nの値（2×n桁）		R2 × Rn	R2 × Rnの値（n+1桁）		R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n−1桁）	R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
3	6	R06	111111	＝	R2 × R3	1221	×	91	7・13
5	10	R10	1111111111		R2 × R5	122221		9091	素数
7	14	R14	11111111111111		R2 × R7	12222221		909091	素数
9	18	R18	111111111111111111		R2 × R9	1222222221		90909091	7・13・19・52579
11	22	R22	1111111111111111111111		R2 × R11	122222222221		9090909091	11・23・4093・8779

n が偶数のときのR_2n、その他 についての例は次のとおり。

• R₁₂ = 11222211 × 9901
• R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
• R₂₄ = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
• R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
• R₃₆ = 111111222222222222111111× 999999000001
• R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

• R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
• R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
• R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

^[3][4][5][6]

1と0だけで表す例

n	(10n/2 − 1) / 9	[7]	10n/2 + 1
R02	1	1 × 11	11
R04	11	11 × 101	101
R06	3・37	111 × 1001	7・11・13
R08	11・101	1111 × 10001	73・137
R10	41・271	11111 × 100001	11・9091

n
R02		0001 × 11	1 × 11
R03	#	0001 × 111
R04	$	0001 × 1111	11 × 101
R05	%	0001 × 11111
R06	&	0001 × 111111	111 × 1001
	#	0011 × 10101
R07	*	0001 × 1111111
R08	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R09	#	0111 × 1001001
R10	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R12	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R14	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

n
R06	1 × 111 × 1001	91・11
R12	11 × 10101 × 1000001	9901・101
R18	111 × 1001001 × 1000000001	999001・1001
R24	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001・10001

n
R04	11 × 101
R08	101 × 110011
R12	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R16	10001 × 111100001111
R20	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R24	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

n	Rn×(10n+1)
	[9][10][11]
R02	62 − 52	62 − 52		62 − 52
R03		562 − 552	562 − 552
R04	562 − 452	5562 − 5552
R05		55562 − 55552
R06	5562 − 4452	555562 − 555552	50562 − 50452	6562 − 5652
R07		5555562 − 5555552
R08	55562 − 44452	0G（省略）
R09		0F（省略）	5005562 − 5004452
R10	0E（省略）	0E（省略）		656562 − 565652
R11		0D（省略）
R12	0C（省略）	0C（省略）	500055562 − 500044452
R13		0B（省略）
R14	0C（省略）	0A（省略）		65656562 − 56565652

レピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した^[12]。2023年5月に素数であることが証明された R₈₆₄₅₃ は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した^[13]。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し^[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^{[15][リンク切れ]}。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した^[16]。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を^[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した^[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

R_n = (10ⁿ − 1) / 9

No.	n	年[要出典]	発見者	素数判定
1	2	BC 478	-	素数
2	19	1908-06-27	-	素数
3	23	1933-01-23	-	素数
4	317	1978-05-16	ヒュー・ウィリアムズ	素数
5	1031	1986-10-05	ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー	素数
6	49081	1999-09-09	ハーヴェイ・ダブナー	素数
7	86453	2000-10-26	リュー・バクスター	素数
8	109297	2007-03-26	ハーヴェイ・ダブナー	素数
9	270343	2007-07-11	マクシム・ヴォズニー	確率的素数
10	5794777	2021-04-19	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数
11	8177207	2021-05-08	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[19]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₂₂ までの素因数分解の一覧を示す^[20]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは ${\displaystyle R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}}$ と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは aⁿ⁻¹ の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[21]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

${\displaystyle R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)}$

と表すことができる。