三角形に関する不等式の一覧

三角形に関する不等式（triangle inequalities）の一覧。辺だけでなく、周長、半周長、角、三角法、面積、内半径、外半径や角の二等分線、頂垂線の長さなども不等式内に含まれることがある。

特に断りのない限り、ユークリッド平面上の三角形の不等式について言及する。

変数の表記

以下に、本記事で扱う三角形の各値の表記を並べる。

• 三角形の辺長a,b,c
• 周長p、半周長s
• 角A,B,C（それぞれ辺a,b,cの対角）
• 面積T
• 中線の長さm_a,m_b,m_c
• 頂垂線の長さh_a,h_b,h_c
• 角の二等分線の長さt_a,t_b,t_c
• 垂直二等分線の長さp_a,p_b,p_c（中点から他の辺との交点まで）
• 内半径rと傍接円半径r_a,r_b,r_c
• 外半径R

辺長

三角不等式$${\displaystyle a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b}$$または、$${\displaystyle \max(a,b,c)<s.}$$

変形すれば、$${\displaystyle {\frac {3}{2}}\leq {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}<2,}$$ここで右辺は極限値、つまり三角形を線分へ退化させた場合に等号が成立する^[1]。また左辺はネスビットの不等式。

${\displaystyle 3\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2\left({\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}\right)+3.}$^{[2]:p.250,#82}

${\displaystyle abc\geq (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c).\quad }$^{[1]:p. 260}

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}}<{\frac {1}{2}}.\quad }$^{[1]:p. 261}

${\displaystyle {\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {a-b+c}}+{\sqrt {-a+b+c}}\leq {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}.}$^{[1]:p. 261}

${\displaystyle a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0.}$^{[1]:p. 261}

∠Cが鈍角であるとき、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2};}$

∠Cが鋭角であるとき、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}.}$

∠Cが直角であるとき、ピタゴラスの定理。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>{\frac {c^{2}}{2}},}$^[2]:p.1,#74

二等辺三角形が線分へ退化するときこの等号が成立する。

重心が内接円の内側にあるとき、

${\displaystyle a^{2}<4bc,\quad b^{2}<4ac,\quad c^{2}<4ab.}$^{[3]:p. 153}

ただし、三角不等式より、上の式は常に成立する。

${\displaystyle {\frac {3abc}{ab+bc+ca}}\leq {\sqrt[{3}]{abc}}\leq {\frac {a+b+c}{3}},}$

これは調和平均、相乗平均、相加平均の関係式である^[1]:p.267。等号成立条件はa=b=c。

ガーファンクルの不等式（Garfunkel's Inequality）によれば、三角形の頂点と、それぞれ内心と重心を結ぶ線分と内接円の交点が成す三角形について、重心の方の三角形の周長は、内心の方の三角形の周長以上である^[4]。

角

${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq {\frac {3}{2}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${\displaystyle (1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)\geq \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C.}$^{[2]:p.21,#836}

${\displaystyle \cos ^{4}{\frac {A}{2}}+\cos ^{4}{\frac {B}{2}}+\cos ^{4}{\frac {C}{2}}\leq {\frac {s^{3}}{2abc}}}$

この式の等号成立条件は三角形が正三角形であるとき^{[2]:p.13,#608}。

${\displaystyle a+b+c\geq 2{\sqrt {bc}}\cos A+2{\sqrt {ca}}\cos B+2{\sqrt {ab}}\cos C.}$ ^[5]:Thm.1

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}.}$ ^[1]:p.286

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C\leq {\frac {9}{4}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\leq \left({\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{3}}\right)^{3}\leq \left(\sin {\frac {A+B+C}{3}}\right)^{3}=\sin ^{3}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}.}$ ^{[6]:p. 203}

${\displaystyle \sin A+\sin B\cdot \sin C\leq \varphi }$^{[2]:p.149,#3297}

ここで ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},}$ つまり黄金比。

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}\cdot \sin {\frac {C}{2}}\leq {\frac {1}{8}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {A}{2}}+\tan ^{2}{\frac {B}{2}}+\tan ^{2}{\frac {C}{2}}\geq 1.}$ ^{[1]:p. 286}

${\displaystyle \cot A+\cot B+\cot C\geq {\sqrt {3}}.}$ ^[7]

${\displaystyle \sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos C+\sin C\cdot \cos A\leq {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}.}$^{[2]:p.187,#309.2}

R,rについて、

${\displaystyle \max \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

等号成立条件は三角形が頂角60°以上の二等辺三角形であるとき^{[8]:Cor. 3}。

${\displaystyle \min \left(\sin {\frac {A}{2}},\sin {\frac {B}{2}},\sin {\frac {C}{2}}\right)\geq {\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\right),}$

等号成立条件は三角形が頂角60°以下の二等辺三角形であるとき^{[8]:Cor. 3}。

${\displaystyle {\frac {r}{R}}-{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}\leq \cos A\leq {\frac {r}{R}}+{\sqrt {1-{\frac {2r}{R}}}}}$

左辺との等号成立条件はB=Cの頂角60°超過の三角形であるとき。右辺との等号成立条件はB=Cの頂角60°以下の三角形であるとき^{[8]:Prop. 5}。

次の不等式は角と辺の関係式^{[1]:p. 264}。

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b,}$

また、A=Bとa=bは同値 (Pons asinorum) 。

外角定理によれば、次の式が成立する^{[1]:p. 261}。三角形の内部の点Dについて、

${\displaystyle \angle BDC>\angle A.}$^{[1]:p. 263}

鋭角三角形について、^{[2]:p.26,#954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

ただし、鋭角三角形については、逆向きの不等式が成立する。

更に鈍角三角形でない三角形について^{[9]:Corollary 3}、

${\displaystyle {\frac {2R+r}{R}}\leq {\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {A-C}{2}}\right)+\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\right)}$

等号成立条件は∠B=90°。

Klamkinの不等式によれば、任意の実数x,y,zと非負整数nについて、^[10][11]

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 2(-1)^{n+1}(yz\cos(nA)+za\cos(nB)+xy\cos(nC))}$

フランダースの不等式（Flanders's inequality）またはAbi-Khuzam Inequalityによれば、次の式が成立する^[12]。

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C\leq ({\frac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }})^{3}ABC}$

等号成立は正三角形の場合^[13]。

フランダースの定理の類似物としてYffの不等式がある^[14][15]。ここでωはブロカール角。

${\displaystyle 8\omega ^{3}\leq ABC}$

面積

ヴァイツェンベックの不等式（英語版）によれば、^{[1]:p. 290}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T,}$

等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。また、この不等式はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の不等式の系である。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\cdot T.}$

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$^{[16]:p. 138}

または、^{[2]:p.192,#340.3[6]:p. 204}

${\displaystyle T\leq {\frac {abc}{2}}{\sqrt {\frac {a+b+c}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc}}}\leq {\frac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{\frac {3(a+b+c)^{3}(abc)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

最右辺の上界とAM-GM不等式を用いれば、三角形の等周不等式を得る。

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{36}}(a+b+c)^{2}={\frac {\sqrt {3}}{9}}s^{2}}$ ^{[6]:p. 203}

これを三角形の周長pに置き換えれば

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

を得る。等号成立条件は正三角形であるとき^[17]。また、次式はこの不等式のより強力な不等式である。

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

等周不等式によれば、

${\displaystyle 4\pi T\leq (a+b+c)^{2}.}$

更に、ボンネゼンの不等式はこの上の不等式より強力である。

${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq (a+b+c)^{2}-4\pi T.}$

また、面積と辺長について

${\displaystyle {\frac {9abc}{a+b+c}}\geq 4{\sqrt {3}}\cdot T}$ ^{[1]:p. 290[16]:p. 138}

を得る。等号成立は正三角形。半周長を用いれば次の式が成立する。

${\displaystyle 38T^{2}\leq 2s^{4}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}$^{[2]:p.111,#2807}

また、

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}<{\frac {s}{T}}.}$^{[2]:p.88,#2188}

オノの不等式は鋭角三角形について成り立つ。

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4T)^{6}.}$

内接円の面積と三角形の面積の比について、次の式が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\text{Area of incircle}}{\text{Area of triangle}}}\leq {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

等号成立は正三角形^[18]。

基準三角形とそれに内接する三角形について、以下の不等式が成立する^{[16]:p. 138}。

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inscribed triangle}}{\text{Area of reference triangle}}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

基準三角形と内心三角形DEFについて、以下の不等式が成立する^{[2]:p.18,#762}。

${\displaystyle {\frac {3abc}{4(a^{3}+b^{3}+c^{3})}}\leq {\frac {{\text{Area of triangle}}\,DEF}{{\text{Area of triangle}}\,ABC}}\leq {\frac {1}{4}}.}$

三角形の重心を通る直線は三角形を、基準三角形の4/9以上の面積を持つ三角形に分ける^[19]。

中線と重心

中線は頂点と、その対辺の中点を通る直線である。中線の長さm_a,m_b,m_cについて、次の式が成り立つ^{[1]:p. 271}

${\displaystyle {\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c.}$

さらに、^{[2]:p.12,#589}

${\displaystyle \left({\frac {m_{a}}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{b}}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {m_{c}}{c}}\right)^{2}\geq {\frac {9}{4}},}$

等号成立は正三角形。内半径については次の式が成り立つ^{[2]:p.22,#846}。

${\displaystyle {\frac {m_{a}m_{b}m_{c}}{m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}}}\geq r.}$

中線を含む外接円の弦の長さをM_a,M_b,M_cとすれば、次の式が成立する^{[2]:p.16,#689}。

${\displaystyle {\frac {M_{a}}{m_{a}}}+{\frac {M_{b}}{m_{b}}}+{\frac {M_{c}}{m_{c}}}\geq 4.}$

三角形の重心をG、circum-medial triangleを△UVWとすれば、

${\displaystyle GU+GV+GW\geq AG+BG+CG}$

${\displaystyle GU\cdot GV\cdot GW\geq AG\cdot BG\cdot CG;}$

が成立する^[2]:p.17#723。加えて、^{[2]:p.156,#S56}

${\displaystyle \sin GBC+\sin GCA+\sin GAB\leq {\frac {3}{2}}.}$

鋭角三角形について、^{[2]:p.26,#954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

ただしRは外半径。鈍角三角形では不等式の向きが逆になる。

IA, IB, ICを内心と各頂点の距離とすると、^{[2]:p.192,#339.3}

${\displaystyle {\frac {IA^{2}}{m_{a}^{2}}}+{\frac {IB^{2}}{m_{b}^{2}}}+{\frac {IC^{2}}{m_{c}^{2}}}\leq {\frac {4}{3}}.}$

中線の長さを持つ三角形を作ることができる^{[20]:p. 592}。つまり、

${\displaystyle m_{a}<m_{b}+m_{c},\quad m_{b}<m_{c}+m_{a},\quad m_{c}<m_{a}+m_{b}.}$

更に、^{[21]:Coro. 6}

${\displaystyle \max\{bm_{c}+cm_{b},\quad cm_{a}+am_{c},\quad am_{b}+bm_{a}\}\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt {3}}}.}$

頂垂線

頂垂線の長さh_a,h_b,h_cについて、次の不等式が成立する^{[1]:p. 274}。

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

${\displaystyle h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}\leq {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

加えて、${\displaystyle a\geq b\geq c,}$として^[2]:222,#67

${\displaystyle a+h_{a}\geq b+h_{b}\geq c+h_{c}.}$

更に、^{[2]:p.140,#3150}

${\displaystyle {\frac {h_{a}^{2}}{(b^{2}+c^{2})}}\cdot {\frac {h_{b}^{2}}{(c^{2}+a^{2})}}\cdot {\frac {h_{c}^{2}}{(a^{2}+b^{2})}}\leq \left({\frac {3}{8}}\right)^{3}.}$

内角の二等分線の長さをt_a,t_b,t_c、内半径と外半径をそれぞれR,rとすると^{[2]:p.125,#3005}、

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq {\frac {R+4r}{R}}.}$

頂垂線の長さの逆数の長さを持つ三角形を作ることができる^[22]。つまり

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}},\quad {\frac {1}{h_{b}}}<{\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{a}}},\quad {\frac {1}{h_{c}}}<{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}.}$

内角の二等分線と内心

内角の二等分線の長さ、つまり頂点と、その内角の二等分線と対辺の交点の距離をそれぞれt_a,t_b,t_cとする。次の式が成立する。

${\displaystyle t_{a}+t_{b}+t_{c}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2}}(a+b+c)}$

他の長さを用いれば

${\displaystyle h_{a}\leq t_{a}\leq m_{a}}$

となる^{[1]:pp. 271–3}。更に、 ^{[2]:p.224,#132}

${\displaystyle {\sqrt {m_{a}}}+{\sqrt {m_{b}}}+{\sqrt {m_{c}}}\geq {\sqrt {t_{a}}}+{\sqrt {t_{b}}}+{\sqrt {t_{c}}}}$

${\displaystyle {\frac {h_{a}}{t_{a}}}+{\frac {h_{b}}{t_{b}}}+{\frac {h_{c}}{t_{c}}}\geq 1+{\frac {4r}{R}}}$^{[2]:p.125,#3005}

T_a,T_b,T_cを内角の二等分線を含む外接円の弦の長さとする。このとき、^{[2]:p.11,#535}

${\displaystyle T_{a}T_{b}T_{c}\geq {\frac {8{\sqrt {3}}}{9}}abc,}$

等号成立は正三角形。また、

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\leq 5R+2r}$^{[2]:p.14,#628}

等号成立条件は三角形が正三角形であるとき。更に、次の式が成立する^[2]。

${\displaystyle T_{a}+T_{b}+T_{c}\geq {\frac {4}{3}}(t_{a}+t_{b}+t_{c}).}$

内心をIとする。

${\displaystyle 6r\leq AI+BI+CI\leq {\sqrt {12(R^{2}-Rr+r^{2})}}.}$^{[2]:p.127,#3033}

各辺の中点をL,M,Nとすると、^{[2]:p.152,#J53}

${\displaystyle IL^{2}+IM^{2}+IN^{2}\geq r(R+r).}$

正三角形でない三角形の内心をI、重心をG、外心をO、九点中心（英語版）をN、垂心をHとすれば、それらの距離や成す角について以下の式が成立する^[23]:p.232。

${\displaystyle IG<HG,}$

${\displaystyle IH<HG,}$

${\displaystyle IG<IO,}$

${\displaystyle IN<{\frac {1}{2}}IO;}$

${\displaystyle \angle IOH<{\frac {\pi }{6}}.}$^[23]:p.233

${\displaystyle IG<{\frac {1}{3}}v,}$^{[23]:p.233, Lemma 3}

ただしvは最も長い中線の長さ。

${\displaystyle \angle OIH}$ > ${\displaystyle \angle GIH}$ > 90° , ${\displaystyle \angle OGI}$ > 90°.

鈍角三角形について、

${\displaystyle OI^{2}+IH^{2}<OH^{2},\quad GI^{2}+IH^{2}<GH^{2},\quad OG^{2}+GI^{2}<OI^{2},}$

オイラーによって示された次の式は上の2つ目の不等式より、強力である^[24][25]。

${\displaystyle OI^{2}<OH^{2}-2\cdot IH^{2}<2\cdot OI^{2}.}$

内角の二等分線の長さの大小と角の大小は対応する^{[26]:p.72,#114}。

${\displaystyle {\text{If}}\quad A>B\quad {\text{then}}\quad t_{a}<t_{b}.}$

垂直二等分線

以下では、三角形の辺の二等分線の三角形の内部における長さp_a,p_b,p_cを扱う。ただし ${\displaystyle a\geq b\geq c,}$とする。このとき^[27]、

${\displaystyle p_{a}\geq p_{b}}$

かつ

${\displaystyle p_{c}\geq p_{b}.}$

任意の点における不等式

内部の点

点Pを三角形の内部の点とする。

${\displaystyle 2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA>PA+PB+PC,}$^{[1]:pp. 275–7}

更に一般的に、${\displaystyle AB}$（c）が最短辺とすれば、^{[1]:p. 278}

${\displaystyle PA+PB+PC\leq AC+BC.}$

トレミーの不等式によれば、^{[2]:p.19,#770}

${\displaystyle PA\cdot BC+PB\cdot CA>PC\cdot AB}$

A,B,C,Pを並び替えても成立する。

Pの三角形の辺に対する垂足をD,E,Fとすれば、^{[1]:p. 278}

${\displaystyle PA\cdot PB\cdot PC\geq (PD+PE)(PE+PF)(PF+PD).}$

エルデシュ・モーデルの不等式によれば、^{[28] [29]}

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PD+PE+PF}}\geq 2}$

等号成立条件は正三角形の場合。

更に強い不等式にバローの不等式がある。∠APB,∠BPC, ∠CPAの二等分線とBC,CA,ABの交点をU,V,Wとして、^[30]

${\displaystyle {\frac {PA+PB+PC}{PU+PV+PW}}\geq 2.}$

他のエルデシュ・モーデルの不等式より強い不等式に、外接三角形に対するPの垂足をH, K, Lとして、^[31]

${\displaystyle PH+PK+PL\geq 2(PD+PE+PF).}$

がある。また、

${\displaystyle {\frac {PH}{a^{2}}}+{\frac {PK}{b^{2}}}+{\frac {PL}{c^{2}}}\geq {\frac {1}{R}}}$

が成り立つ^[32]。ほかにも次の不等式がある^{[2]:p.29,#1045}。

${\displaystyle {\frac {PA^{2}}{PE\cdot PF}}+{\frac {PB^{2}}{PF\cdot PD}}+{\frac {PC^{2}}{PD\cdot PE}}\geq 12;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{\sqrt {PE\cdot PF}}}+{\frac {PB}{\sqrt {PF\cdot PD}}}+{\frac {PC}{\sqrt {PD\cdot PE}}}\geq 6;}$

${\displaystyle {\frac {PA}{PE+PF}}+{\frac {PB}{PF+PD}}+{\frac {PC}{PD+PE}}\geq 3.}$

${\displaystyle (b+c)PA+(c+a)PB+(a+b)PC\geq 8T}$^{[2]:p.37,#1159}

${\displaystyle {\frac {PA}{a}}+{\frac {PB}{b}}+{\frac {PC}{c}}\geq {\sqrt {3}}.}$^{[2]:p.26,#965}

${\displaystyle 2(PL+PM+PN)\leq 3PG+PA+PB+PC\leq s+2(PL+PM+PN).}$

任意の正の数k₁, k₂, k₃, t（tは1以下）について、^[33]

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2^{t}{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right),}$

t > 1 ならば、^[33]:Thm.2

${\displaystyle k_{1}\cdot (PA)^{t}+k_{2}\cdot (PB)^{t}+k_{3}\cdot (PC)^{t}\geq 2{\sqrt {k_{1}k_{2}k_{3}}}\left({\frac {(PD)^{t}}{\sqrt {k_{1}}}}+{\frac {(PE)^{t}}{\sqrt {k_{2}}}}+{\frac {(PF)^{t}}{\sqrt {k_{3}}}}\right).}$

内部または、外部の点

任意の点Pに関する不等式は多数存在する^{[34]:p. 109}。

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 6r.}$

k = 0, 1, ..., 6について、

${\displaystyle PA^{3}+PB^{3}+PC^{3}+k\cdot (PA\cdot PB\cdot PC)\geq 8(k+3)r^{3}}$^{[35]:pp. 180–1}

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 16r^{2};}$

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+2(PA\cdot PB\cdot PC)^{2/3}\geq 20r^{2};}$

k = 0, 1, ..., 9について、

${\displaystyle PA^{4}+PB^{4}+PC^{4}+k(PA\cdot PB\cdot PC)^{4/3}\geq 16(k+3)r^{4}}$

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{3/2}+(PB\cdot PC)^{3/2}+(PC\cdot PA)^{3/2}\geq 12Rr^{2};}$^{[36]:p. 227}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 8(R+r)Rr^{2};}$^{[36]:p. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 48r^{4};}$^{[36]:p. 233}

${\displaystyle (PA\cdot PB)^{2}+(PB\cdot PC)^{2}+(PC\cdot PA)^{2}\geq 6(7R-6r)r^{3}.}$^{[36]:p. 233}

三角形ABCについて、D,E,Fを各辺の中点として、

${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$^[37]

円の半径

内接円と外接円の半径

オイラーの不等式によれば外接円と内接円の半径をそれぞれR,rとして、

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq 2,}$

等号成立条件は正三角形のとき^{[38]:p. 198}。

より強い不等式に次の形がある^{[6]:p. 198}。

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2.}$

別の形では^{[2]:p.183,#276.2}

${\displaystyle {\frac {r}{R}}\geq {\frac {4abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}},}$

右辺は正の値にも負の値にもなり得る。

更に別の形には、次のようなものがある。^{[2]:p.134,#3087}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {(b+c)}{3a}}+{\frac {(c+a)}{3b}}+{\frac {(a+b)}{3c}}\geq 2}$

${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}\right)^{3}\geq \left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}\right)\left({\frac {b}{c}}+{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c}{a}}+{\frac {a}{c}}\right)\geq 8.}$

${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {c}}-{\sqrt {a}}\right)^{2}}{\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\leq {\frac {4}{9}}\left({\frac {R}{r}}-2\right).}$^{[2]:p.125,#3004}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}};}$^[1]:288

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 8s(R^{2}-r^{2})}$

面積との関係には次の式が挙げられる^{[2]:p.20,#816}。

${\displaystyle r(r+4R)\geq {\sqrt {3}}\cdot T}$

${\displaystyle s{\sqrt {3}}\leq r+4R}$ ^{[6]:p. 201}

${\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}}$ ^[2]:p.17#708

${\displaystyle {\begin{aligned}&2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\leq s^{2}\\&\quad \leq 2R^{2}+10Rr-r^{2}+2(R-2r){\sqrt {R^{2}-2Rr}}\end{aligned}}}$^{[6]:p. 206[8]:p. 99}

次の二つの不等式は、 最右辺は60°以上の頂角を持つ二等辺三角形で、最左辺は60°以下の頂角を持つ二等辺三角形で成立する。更に正三角形の場合すべての等式が成立する^{[8]:Thm. 1}。

${\displaystyle (R-d)^{2}-r^{2}\leq 4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R+d)^{2}-r^{2}}{(R+d)^{4}}}\right)\leq {\frac {a^{2}}{4}}\leq Q\leq (R+d)^{2}-r^{2},}$

ただし外心が内接円外にあるとき ${\displaystyle Q=R^{2}}$、内接円内にある時 ${\displaystyle Q=4R^{2}r^{2}\left({\frac {(R-d)^{2}-r^{2}}{(R-d)^{4}}}\right)}$。外心が内接円内にある必要十分条件は、

${\displaystyle {\frac {R}{r}}<{\sqrt {2}}+1.}$^[39]

である。

${\displaystyle {\frac {9r}{2T}}\leq {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {9R}{4T}}.}$^{[1]:p. 291}

Blundonの不等式によれば^{[6]:p. 206;[40][41]}

${\displaystyle s\leq (3{\sqrt {3}}-4)r+2R.}$

鋭角三角形について、^[42]

${\displaystyle s>2R+r.}$

内心をI、circummidarc triangle の頂点をD,E,Fとして、^{[2]:p.14,#644}

${\displaystyle {\frac {AI}{ID}}+{\frac {BI}{IE}}+{\frac {CI}{IF}}\geq 3.}$

角について、 ^{[2]:p.193,#342.6}

${\displaystyle \cos A\cdot \cos B\cdot \cos C\leq \left({\frac {r}{R{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

三角形の頂点で外接円に接しさらに対辺と接する円の半径をそれぞれ${\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}}$として

${\displaystyle {\frac {4}{R}}\leq {\frac {1}{R_{A}}}+{\frac {1}{R_{B}}}+{\frac {1}{R_{C}}}\leq {\frac {2}{r}}}$^{[43]:Thm. 4}

また、

${\displaystyle {\frac {9}{2}}r\leq R_{A}+R_{B}+R_{C}\leq 2R+{\frac {1}{2}}r}$^[44]

どちらも等号成立条件は正三角形であるとき。

外半径と線分長

外半径をRとする。

${\displaystyle 18R^{3}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})R+abc{\sqrt {3}}}$^{[2]:p.101,#2625}

${\displaystyle a^{2/3}+b^{2/3}+c^{2/3}\leq 3^{7/4}R^{3/2}.}$^{[2]:p.35,#1130}

${\displaystyle a+b+c\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R,}$

${\displaystyle 9R^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2},}$

${\displaystyle h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq 3{\sqrt {3}}\cdot R}$

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\leq {\frac {27}{4}}R^{2}}$^{[1]:pp. 287–90}

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}+{\frac {bc}{b+c}}+{\frac {ca}{c+a}}\geq {\frac {2T}{R}}}$^{[2]:p.26,#957}

外心をO、外心のチェバ三角形の頂点をU,V,Wとして、

${\displaystyle OU+OV+OW\geq {\frac {3}{2}}R.}$^{[2]:p.17,#718}

垂心をHとして、鋭角三角形について

${\displaystyle OH<R,}$^{[2]:p.26,#954}

鈍角三角形については、不等号の向きが逆となる。

二つのブロカール点をB₁,B₂として^[45]

${\displaystyle R\geq 2B_{1}B_{2}.}$

ライプニッツの不等式（Leibniz’s Inequality）によれば、^[46]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}}$

内接円と外接円の半径と不等式

rを内接円の半径、r_a,r_b,r_cを各傍接円の半径として^{[1]:pp. 289–90}

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {\sqrt {3}}{2r}},}$

${\displaystyle 9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}}$

${\displaystyle {\sqrt {r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}}}\geq 6r}$

${\displaystyle {\sqrt {s}}({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}})\leq {\sqrt {2}}(r_{a}+r_{b}+r_{c})}$^{[2]:p.66,#1678}

${\displaystyle {\frac {abc}{r}}\geq {\frac {a^{3}}{r_{a}}}+{\frac {b^{3}}{r_{b}}}+{\frac {c^{3}}{r_{c}}}.}$^{[2]:p.183,#281.2}

${\displaystyle {\frac {r_{a}r_{b}}{m_{a}m_{b}}}+{\frac {r_{b}r_{c}}{m_{b}m_{c}}}+{\frac {r_{c}r_{a}}{m_{c}m_{a}}}\geq 3.}$^{[2]:p.66,#1680}

鋭角三角形の内心と垂心の距離IHについて、

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$^{[2]:p.26,#954}

鈍角三角形では不等号が逆になる。

更に鋭角三角形について^{[2]:p.26,#954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

同様に鈍角三角形では不等号が逆になる。

内角の二等分線と対辺の交点をそれぞれU,V,Wとして、^{[2]:p.215,32nd IMO,#1}

${\displaystyle {\frac {1}{4}}<{\frac {AI\cdot BI\cdot CI}{AU\cdot BV\cdot CW}}\leq {\frac {8}{27}}.}$

cicummidarc triangleの頂点をX,Y,Zとして、^{[2]:p.181,#264.4}

${\displaystyle {\frac {1}{IX}}+{\frac {1}{IY}}+{\frac {1}{IZ}}\geq {\frac {3}{R}}}$

更に、

${\displaystyle 0\leq (IX-IA)+(IY-IB)+(IZ-IC)\leq 2(R-2r).}$^{[2]:p.181,#264.4:p.45,#1282}

接触三角形DEFについて、^{[2]:p.115,#2875}

${\displaystyle EF^{2}+FD^{2}+DE^{2}\leq {\frac {s^{2}}{3}}}$

内接図形

内接する六角形

3つの辺が三角形の辺でその角対辺が3辺と平行である、三角形に内接し円に外接する六角形の周長について^{[2]:p.42,#1245}

${\displaystyle {\text{Perimeter of hexagon}}\leq {\frac {2}{3}}({\text{Perimeter of triangle}}).}$

内接する三角形

辺BC,CA,AB上の点D,E,Fによってできる4つの三角形について、以下の式が成立する。また、等号成立条件はD,E,Fが各中点であるとき^[16]:p.137。

${\displaystyle {\text{Area(DEF)}}\geq \min({\text{Area(BED), Area(CFE), Area(ADF)}}).}$

内接する正方形

鋭角三角形は3つの内接する正方形を持つ。それぞれ1辺が三角形の辺に含まれ、その端点でない頂点が三角形の他2辺上にある（直角三角形はそのような正方形をただ1つ持つ）。3つのうち2つの、辺の長さをx_a, x_b（x_a < x_b）とすれば

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$^{[47]:p. 115}

更に、その面積について、^{[2]:p.18,#729[47]}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of triangle}}{\text{Area of inscribed square}}}\geq 2.}$

オイラー線

二等辺三角形でない三角形について、オイラー線と内心の距離をd、最長の中線と辺の長さをそれぞれu,v、半周長をsとして、次の不等式が成立する^{[23]:p. 234, Propos.5}。

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}}.}$

すべての比について、その最大値は最右辺の1/3である^{[23]:p.235, Thm.6}。

直角三角形

斜辺c、他二辺の長さをa,bIとする直角三角形について、次の式が成立する。等号成立条件は直角二等辺三角形であるとき^{[1]:p. 280}。

${\displaystyle a+b\leq c{\sqrt {2}}.}$

内接円半径について、次の式が成立する^{[1]:p. 281}。

${\displaystyle 2r\leq c({\sqrt {2}}-1),}$

直角からの頂垂線h_cについて、^{[1]:p. 282}

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b).}$

二等辺三角形

底辺c、等辺a、頂角でない角の二等分線の長さをtとする二等辺三角形について、次の式が成立する^{[2]:p.169,#${\displaystyle \eta }$44}。

${\displaystyle {\frac {2ac}{a+c}}>t>{\frac {ac{\sqrt {2}}}{a+c}}.}$

正三角形

正三角形ABCと、その外接円上にない任意の点Pについて、次の式が成立する（ポンペイウの定理）^{[1]:p. 279}。$${\displaystyle PA+PB>PC,\quad PB+PC>PA,\quad PC+PA>PB.}$$

Pが外接円上にある場合、ファン・スコーテンの定理である。

任意の点Pにおいて、三角形ABCの各辺の距離PD,PE,PFと各頂点との距離PA,PB,PCが次の式を満たす場合、ABCは正三角形である^{[2]:p.178,#235.4}。$${\displaystyle 4(PD^{2}+PE^{2}+PF^{2})\geq PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}.}$$

二つの三角形

ピドーの不等式（英語版）によれば、面積T、辺長a,b,cの三角形と面積S、辺長d,e,fの三角形について、以下の不等式が成立する。

${\displaystyle d^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+e^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+f^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16TS,}$

等号成立条件は二つの三角形が相似であるとき。

Hinge theorem (Hinge theorem) によれば、2つの三角形の二辺が合同であるとき、その成す角の大きさと3つ目の辺の大小は一致する。 つまり△ABC,△DEF（それぞれ辺長がa,b,c、d,e,f）について、a = d , b = e , F < Cならば、

${\displaystyle c>f.}$

逆a = d , b = e , f < c ⇒ F < Cも成立する。

任意の2つの三角形△ABC,△DEFの角の余接について、次の式が成立する^[7]。

${\displaystyle \cot A(\cot E+\cot F)+\cot B(\cot F+\cot D)+\cot C(\cot D+\cot E)\geq 2.}$

非ユークリッド平面

楕円幾何学のように、球面における三角形の内角について、次の式が成り立つ。

${\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C>180^{\circ }.}$

この不等式は双曲三角形（英語版）にもたらされる。

関連項目

• 不等式の一覧
• 三角形関連の記事の一覧