二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ数（にじゅうメルセンヌすう）は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$（pは素数）

例

二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り^[1] オンライン整数列大辞典の数列 A077586:

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

二重メルセンヌ素数

二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 M_p は p が素数である場合のみ素数となるため（証明はメルセンヌ数参照）、二重メルセンヌ素数 ${\displaystyle M_{M_{p}}}$は M_p それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。M_p が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のとき${\displaystyle M_{M_{p}}}$は素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの ${\displaystyle M_{M_{p}}}$の陽因数が見つかっている。

${\displaystyle p}$	${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$	${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$	${\displaystyle M_{M_{p}}}$の素因数分解
2	3	素数	7
3	7	素数	127
5	31	素数	2147483647
7	127	素数	170141183460469231731687303715884105727
11	素数ではない	素数ではない	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13	8191	素数ではない	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17	131071	素数ではない	231733529 × 64296354767 × ...
19	524287	素数ではない	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23	素数ではない	素数ではない	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29	素数ではない	素数ではない	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31	2147483647	素数ではない	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37	素数ではない	素数ではない
41	素数ではない	素数ではない
43	素数ではない	素数ではない
47	素数ではない	素数ではない
53	素数ではない	素数ではない
59	素数ではない	素数ではない
61	2305843009213693951	不明	（4×1033より小さい素因数はない）

次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、${\displaystyle M_{M_{61}}}$= 2^{2305843009213693951} − 1である。この数はおよそ1.695×10^{694127911065419641}であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×10³³より小さい素因数はない^[2]。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている^[1][3]。

${\displaystyle M_{M_{p}}}$（pはn番目の素数）の素因数は以下の通り

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... （次は4×10³³より大きい） オンライン整数列大辞典の数列 A263686

カタラン・メルセンヌ数予想

${\displaystyle M_{p}}$の代わりに ${\displaystyle M(p)}$と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... オンライン整数列大辞典の数列 A007013

これをカタラン・メルセンヌ数という^[4]。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた^[1][5]。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項（M₁₂₇未満）は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを（妥当な時間内に）証明する既知の方法はない。しかし、M_M127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでM_M127 を計算して見つけることができる（再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pはM_M127 の因数であるため、その素数性を反証できる。M_M127 はメルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M₁₂₇+1の形でなければならない）。

関連項目

• カニンガム鎖
• 二重指数関数
• フェルマー数
• 完全数
• Wieferich素数（英語版）