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五角数

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五角数
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五角数(ごかくすう、pentagonal number)とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例:5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

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はじめの5つの五角数の図示

一般項

151222
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n 番目の五角数を Pn とすると、図より

P1 = 1 , Pn+1 = Pn + 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

で与えられる。(ただし Tnn 番目の三角数)

五角数を小さいものから順に列記すると

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … (オンライン整数列大辞典の数列 A326

となる。

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性質

である[1]
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脚注

関連項目

外部リンク

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