五角数

五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

はじめの5つの五角数の図示

一般項

1		5		12		22

n 番目の五角数を P_n とすると、図より

P₁ = 1 , P_n+1 = P_n + 3n + 1

が成り立つ。よって五角数は

${\displaystyle P_{n}=P_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(3k+1)={\frac {n(3n-1)}{2}}=n^{2}+T_{n-1}}$

で与えられる。(ただし T_n は n 番目の三角数)

五角数を小さいものから順に列記すると

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, … （オンライン整数列大辞典の数列 A326）

となる。

性質

• n 番目の五角数は 3n − 1 番目の三角数の 1/3 に等しい。また 1 から n 番目までの五角数の相加平均は n 番目の三角数に等しい。
• n 番目の五角数は n からの n 連続整数和で表せる。例. P₂ = 2 + 3 、P₃ = 3 + 4 + 5
• 五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。
• 五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
• 全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)
• 五角数の逆数の無限和は

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+...=3\log {3}-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{3}}=1.4820375...}$

である^[1]。

• 五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276${\displaystyle \cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)
• 五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, ${\displaystyle \cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 A242043)
• 五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401,${\displaystyle \cdots }$ (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)