トップQs
タイムライン
チャット
視点

摂動函数

ウィキペディアから

Remove ads

数学数理最適化の分野において、摂動函数(せつどうかんすう、: perturbation function)とは、主問題と双対問題を関連づける任意の函数である。そのような任意の函数は元の問題の摂動を定義する事実から、その名が付けられた。多くの場合、この函数は制約条件をシフトする形状を取る[1]

文献によっては、価値函数英語版が摂動函数と呼ばれ、摂動函数は二重函数(bifunction)と呼ばれることもある[2]

定義

分離的局所凸空間の二つの双対組 が与えられるとする。このとき、与えられた函数 に対する主問題を次で定義する。

制約条件が存在するならば、それら制約条件を として函数 に含めてしまうこともできる。ここで 指示函数英語版である。このとき が摂動函数であるための必要十分条件は、 である[1][3]

Remove ads

双対性

要約
視点

双対ギャップは、次の不等式の右辺と左辺の差で与えられる。

ここで は両変数についての凸共役である[3][4]

摂動函数 F をどのように選んでも弱双対性は成立する。また強双対性が成立するための条件は数多く存在する[3]。例えば、F結合凸函数で、下半連続かつ であり(ここで 代数的内部を表し、 で定義される Y の上への射影である)、XYフレシェ空間であるなら、強双対性は成立する[1]

Remove ads

要約
視点

ラグランジアン

を双対組とする。(f(x) を最小化する)主問題と、関連する摂動函数 (F(x,y)) が与えられたとき、ラグランジアン は、Fy に関する負の共役(すなわち、凹共役)である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。

特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。

主問題が、 に対し

で与えられるとする。このとき、摂動が

で与えられるなら、摂動函数は

となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、L が明らかに次で与えられることから分かる。

.

フェンシェル双対性

双対組とする。ある線型作用素 とその随伴作用素 の存在を仮定する。また主目的函数(指示函数による制限も含む)は、 に対して と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。

.

特に、主目的函数が であるなら、摂動函数は で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である[5]

Remove ads

脚注

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads