応用数学

応用数学（おうようすうがく、英語: applied mathematics）とは、数学的知識を他分野に適用することを主眼とした数学の分野の総称である^[1]。 数学のさまざまな分野のどれが応用数学であるかというはっきりした合意があるわけではなく、しばしば純粋数学と対置^[2]されるものとして、大まかには他の科学や技術への応用に歴史的に密接に関連してきた分野がこう呼ばれている。

概説

歴史的にみれば、応用数学はニュートン力学と密接に関連して始まった。 実際、19世紀中頃まで応用数学者と物理学者の間に明確な区別は存在していなかった。 このときの応用数学は何より応用解析、とくに微分方程式論、近似理論 (approximation theory)、確率論の応用から成り立っていた。 ここで近似理論とは、広く解釈して表現論、漸近展開、変分法、数値解析を含んだ領域である^[3][4][5]。

現在では、「応用数学」という用語はもっと広い意味で用いられ、上のような古典的領域とともに応用上重要な他の分野も含むものとなっている^[1]。 逆に、数論のような分野でさえ現在では暗号理論などで応用上重要なものとなっているが^[6][7][8][9]、それ自体が応用数学とは呼ばれない。 このため英語では、実世界の問題に応用可能であるが伝統的に応用数学と呼ばれる領域を越えたものを含む数学の分野を、従来の応用数学 (applied mathematics) と区別するために、しばしば applicable mathematics（応用可能な数学）と呼んでいる^[10][11][12]。

数学の応用分野は自然科学や工学において重要なものであったが、近年では、例えば経済学的考察からゲーム理論の誕生と発展がもたらされ^[13][14]、神経科学の研究からニューラル・ネットワークの理論が生まれたように、それらの外部から新たな数学の領域が生まれている。 またコンピュータの出現は、その理論的研究とその利用との双方において新しい応用分野を生み出してきている。 理論的研究分野である計算機科学 (computer science) においては、組合せ論、数理論理学、束論、圏論などの数学が応用される。 一方、コンピュータを利用して他の科学の領域の問題を研究する分野は計算科学 (computational science) と呼ばれ^[15]、数値解析などの数学分野が利用される。

統計的手続きの確率論にもとづいた正当化を行う数学の分野は数理統計学と呼ばれる^[16]。また社会科学や人文科学において、統計学が解析の手段として広く用いられているが^[17]、統計学そのものは応用数学に含まれるとみなされることも、社会科学や人文科学の各分野と組み合わさった独立領域とみなされることもある。

関連する分野

応用数学の研究対象は非常に幅が広く、様々な分野に跨るため、関わる分野全てを挙げることは困難である。ここでは、応用数学と関わり合いが特に深い代表的な分野を挙げる^[1]。

• 数値解析
  • 精度保証付き数値計算^{[18][19][20][21][22]}
  • 数値線形代数^{[23][24][25][26]}
  • 常微分方程式の数値解法^[27][28][29]
  • 偏微分方程式の数値解法^[30][31][32]
• 計算機援用証明
• グラフ理論^{[33][34][35][36]}
• アルゴリズム
• 組合せ論^[37]
• 最適化問題^[38]・オペレーションズ・リサーチ^{[39][40][41][42]}
• 制御理論^[43]
• 複雑系^[44][45]・力学系^{[46][47][48][49]}
• 情報理論^{[50][51][52][53]}
• 暗号理論^[6][7][8][9]
• 機械学習^[54][55][56]
• 時系列解析^{[57][58][59][60]}
• 統計学^[16]
• 金融工学^[61][62][63]・数理ファイナンス^{[64][65][66][67][68]}
• 保険数学^[69][70]
• ゲーム理論^[13][14]

主な研究者

• 犬井鉄郎
• 森正武
• 伊理正夫
• 大石進一
• ホアン・トゥイ

日本

日本の過去の高等学校学習指導要領において、科目「応用数学」が存在した^[71]。高等専門学校では「応用数学」が2019年現在も存在する^[72]。

脚注

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1. 『応用数理ハンドブック』（日本応用数理学会20周年記念出版）朝倉書店 2013.
2. “ハーディの本 (2) －　純粋数学と応用数学”. researchmap.jp. 2018年12月9日閲覧。
3. Trefethen, L. N. (2019). Approximation theory and approximation practice (Vol. 164). SIAM.
4. Powell, M. J. D. (1981). Approximation theory and methods. Cambridge University Press.
5. Achieser, N. I. (2013). Theory of approximation. Courier Corporation.
6. Koblitz, N. (1994). A course in number theory and cryptography (Vol. 114). Springer Science & Business Media.
7. Washington, L. C. (2008). Elliptic curves: number theory and cryptography. CRC Press.
8. Loxton, J. H., Loxton, J., & Hitchin, N. J. (Eds.). (1990). Number theory and cryptography (Vol. 154). Cambridge University Press.
9. Kraft, J., & Washington, L. (2018). An introduction to number theory with cryptography. CRC Press.
10. Rektorys, K. (2013). Survey of applicable mathematics (Vol. 280). Springer.
11. Bender, E. A. (1973). Teaching Applicable Mathematics. The American Mathematical Monthly, 80(3), 302-307.
12. Feferman, S. (1992, January). Why a little bit goes a long way: Logical foundations of scientifically applicable mathematics. In PSA: Proceedings of the Biennial meeting of the Philosophy of Science Association (Vol. 1992, No. 2, pp. 442-455). Philosophy of Science Association.
13. 松井彰彦. (2002). 慣習と規範の経済学: ゲーム理論からのメッセージ. 東洋経済新報社.
14. 渡辺隆裕. (2004). ゲーム理論. ナツメ社.
15. 計算科学のための基本数理アルゴリズム (2019). 金田行雄・笹井理生監修・張紹良編, 共立出版.
16. 鈴木武, & 山田作太郎. (1998). 数理統計学-基礎から学ぶデータ解析-, 内田老鶴圃.
17. 安田三郎. (1977). 社会統計学. 丸善.
18. 中尾充宏、山本野人：「精度保証付き数値計算―コンピュータによる無限への挑戦」、日本評論社、（1998年）
19. 大石進一：「精度保証付き数値計算」、コロナ社、（2000年）
20. 中尾充宏、渡辺善隆:「実例で学ぶ精度保証付き数値計算」、サイエンス社（2011年）
21. 大石進一編著：「精度保証付き数値計算の基礎」、コロナ社、（2018年）
22. Tucker, W. (2011). Validated numerics: a short introduction to rigorous computations. Princeton University Press.
23. 数値線形代数の数理とHPC, 櫻井鉄也, 松尾宇泰, 片桐孝洋編（シリーズ応用数理 / 日本応用数理学会監修, 第6巻）共立出版, 2018.8
24. Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics.
25. Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
26. Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.
27. 三井斌友 (2003) 常微分方程式の数値解法, 岩波書店.
28. Shampine, L. F. (2018). Numerical solution of ordinary differential equations. Routledge.
29. Deuflhard, P., & Bornemann, F. (2012). Scientific computing with ordinary differential equations. Springer Science & Business Media.
30. 田端正久; 偏微分方程式の数値解析, 2010. 岩波書店.
31. 登坂宣好, & 大西和榮. (2003). 偏微分方程式の数値シミュレーション. 東京大学出版会.
32. Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
33. West, D. B. (2001). Introduction to graph theory (Vol. 2). Upper Saddle River: Prentice hall.
34. Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (1976). Graph theory with applications (Vol. 290). London: Macmillan.
35. Bollobás, B. (2013). Modern graph theory (Vol. 184). Springer Science & Business Media.
36. Gross, J. L., & Yellen, J. (Eds.). (2003). Handbook of graph theory. CRC Press.
37. Brualdi, R. A. (1977). Introductory combinatorics. Pearson Education India.
38. Snyman, J. A. (2005). Practical mathematical optimization (pp. 97-148). Springer Science+ Business Media, Incorporated.
39. Winston, W. L., & Goldberg, J. B. (2004). Operations research: applications and algorithms (Vol. 3). Belmont: Thomson Brooks/Cole.
40. Hillier, F. S. (2012). Introduction to operations research. Tata McGraw-Hill Education.
41. Wagner, H. M. (1975). Principles of operations research: with applications to managerial decisions (No. 04; T56. 7, W3 1975.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
42. Marlow, W. H. (1993). Mathematics for operations research. Courier Corporation.
43. Sontag, E. D. (2013). Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems (Vol. 6). Springer Science & Business Media.
44. 井庭崇, & 福原義久. (1998). 複雑系入門: 知のフロンティアへの冒険. NTT 出版.
45. Bar-Yam, Y. (2019). Dynamics of complex systems. CRC Press.
46. Devaney, R. (2018). An introduction to chaotic dynamical systems. CRC Press.
47. Perko, L. (2013). Differential equations and dynamical systems (Vol. 7). Springer Science & Business Media.
48. Izhikevich, E. M. (2007). Dynamical systems in neuroscience. MIT Press.
49. Wainwright, J., & Ellis, G. F. R. (Eds.). (2005). Dynamical systems in cosmology. Cambridge University Press.
50. Brillouin, L. (2013). Science and information theory. Courier Corporation.
51. MacKay, D. J., & Mac Kay, D. J. (2003). Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge University Press.
52. Cover, T. M., & Thomas, J. A. (2012). Elements of information theory. John Wiley & Sons.
53. Kullback, S. (1997). Information theory and statistics. Courier Corporation.
54. Alpaydin, E. (2020). Introduction to machine learning. MIT Press.
55. Marsland, S. (2015). Machine learning: an algorithmic perspective. CRC press.
56. Mohri, M., Rostamizadeh, A., & Talwalkar, A. (2018). Foundations of machine learning. MIT press.
57. Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis (Vol. 2, pp. 690-696). New Jersey: Princeton.
58. Box, G. E., Jenkins, G. M., Reinsel, G. C., & Ljung, G. M. (2015). Time series analysis: forecasting and control. John Wiley & Sons.
59. Kantz, H., & Schreiber, T. (2004). Nonlinear time series analysis (Vol. 7). Cambridge University Press.
60. Shumway, R. H., & Stoffer, D. S. (2017). Time series analysis and its applications: with R examples. Springer.
61. 伊庭斉志. (2011). 金融工学のための遺伝的アルゴリズム. 株式会社 オーム社.
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63. Glasserman, P. (2013). Monte Carlo methods in financial engineering (Vol. 53). Springer Science & Business Media.
64. 国友直人, 高橋明彦, 訂正箇所, & 友直人. (2003). 数理ファイナンスの基礎: マリアバン解析と漸近展開の応用. 2003 年, 東洋経済新報社.
65. 長井英生. (2003). 確率制御と数理ファイナンス. 応用数理, 13(4), 318-333.
66. Joshi, M. S., & Joshi, M. S. (2003). The concepts and practice of mathematical finance (Vol. 1). Cambridge University Press.
67. Pliska, S. (1997). Introduction to mathematical finance. Oxford: Blackwell Publishers.
68. Karatzas, I., Shreve, S. E., Karatzas, I., & Shreve, S. E. (1998). Methods of mathematical finance (Vol. 39, pp. xvi+-407). New York: Springer.
69. 山内恒人. (2009). 生命保険数学の基礎. 東京大学出版会.
70. Gerber, H. U. (2013). Life insurance mathematics. Springer Science & Business Media.
71. “数学科教育法に期待される教科指導力の育成”. www.hosei.ac.jp. 2019年2月1日閲覧。
72. “応用数学”. www.dainippon-tosho.co.jp. 2019年2月1日閲覧。

関連項目

関連団体

• 日本応用数理学会
• 応用数学分科会、日本数学会で応用数学を扱う分科会
• ANZIAM
• Society for industrial and applied mathematics
  • EASIAM
• 応用数理国際会議

関連分野

• 数理科学
• 数理工学
• 純粋数学

外部リンク

• SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics)
• The International Council for Industrial and Applied Mathematics
• 日本応用数理学会
• オンライン版『応用数理』巻号一覧 - J-STAGE
• オンライン版『日本応用数理学会論文誌』巻号一覧 - J-STAGE