ទ្រឹស្តីបទកាសី

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទកាសី (Casey's theorem) ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរថាជាទ្រឹស្តីបទទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមី។ ទ្រឹស្តីបទនេះ​ជាទ្រឹស្តីបទ​ក្នុងធរណីមាត្រអឺគ្លីដ​ដែលត្រូវបានដាក់ឈ្មោះ​ដោយយក​ឈ្មោះតាម​អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអៀរឡង់ ចន កាសី (John Casey)

${\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=t_{13}t_{24}}$

រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ

តាង O ជារង្វង់ដែលមានកាំ R ។ តាង ${\displaystyle O_{1},\quad O_{2},\quad O_{3},\quad O_{4}}$ (តាមលំដាប់រៀងគ្នា) ជាបួនរង្វង់មិនប្រសព្វគ្នាដែលស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់ O និងប៉ះនឹងរង្វង់ O ។ កំនត់ ${\displaystyle \,\ell _{i,j}}$ ជារង្វាស់ប្រវែងនៃអង្កត់ប៉ះផ្នែកខាងក្រៅនៃរង្វង់ ${\displaystyle \,O_{i},O_{j}}$ នោះគេបាន

${\displaystyle \,\ell _{1,2}\ell _{3,4}+\ell _{1,4}\ell _{2,3}=\ell _{1,3}\ell _{2,4}}$

សំគាល់៖ ប្រសិនបើរង្វង់ទាំងបួនជាចំនុចវិញ នោះគេបានទ្រឹស្តីបទតូលេមី។ ហេតុនេះបានគេថាទ្រឹស្តីបទនេះជាទ្រឹស្តីបទទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមី។

សំរាយបញ្ជាក់

តាង ${\displaystyle \,R_{i}}$ ជាកាំនៃរង្វង់ ${\displaystyle \,O_{i}}$ by ${\displaystyle \,R_{i}}$ និងតាង ${\displaystyle \,K_{i}}$ ចំនុចប៉ះរបស់វាទៅនឹងរង្វង់ ${\displaystyle \,O}$ ។ យើងនឹងប្រើកំនត់សំគាល់ ${\displaystyle \,O,O_{i}}$ ចំពោះផ្ចិតនៃរង្វង់។

កំនត់សំគាល់ចំពោះទ្រឹស្តីបទពីតាករ

${\displaystyle \,\ell _{i,j}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}$

យើងនឹងសំដែងកន្សោមប្រវែង ${\displaystyle \,\ell _{i,j}}$ នេះជាអនុគមន៍នៃចំនុច ${\displaystyle \,K_{i},K_{j}}$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណ ${\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}$ យើងបាន

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

ដោយរង្វង់ ${\displaystyle \,O,O_{i}}$ ប៉ះគ្នាទៅវិញទៅមក យើងបាន:

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}$

តាង ${\displaystyle \,C}$ ជាចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ ${\displaystyle \,O}$ ។ ដោយយោងតាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណ ${\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}$ យើងបាន

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

ហេតុនេះ

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងរូបមន្តខាងលើ យើងបាន

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

ហេតុនេះរង្វាស់ប្រវែងដែលយើងចង់រកគឺ

${\displaystyle \ell _{i,j}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}$

យើងអាចគណនា​នៅអង្គខាងធ្វេង​ដោយប្រើជំនួយនៃទ្រឹស្តីបទតូលេមីដើមដែលអនុវត្តចំពោះចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ${\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$:

${\displaystyle \ell _{1,2}\ell _{3,4}+\ell _{1,4}\ell _{2,3}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=\ell _{1,3}\ell _{2,4}}$