ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​ត្រីកោណ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទ

ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A, ∠B=B, ∠C=C) និង${\displaystyle R\,}$ ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម

${\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​ត្រីកោណ​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។

${\displaystyle {\begin{aligned}2R={\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}\end{aligned}}}$

ដែល ${\displaystyle S\,}$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង ${\displaystyle p\,}$ ជាកន្លះបរិមាត្រ។

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$

សំរាយបញ្ជាក់

△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C

• សំរាយបញ្ជាក់ ${\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​ត្រីកោណ ABC ជា​ពីរ​ត្រីកោណកែង​។ គេ​បាន

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$   និង  ${\displaystyle \sin B={\frac {h}{a}}}$

${\displaystyle \Rightarrow h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}\,\,\,(1)}$

ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ គេបាន

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}\,\,\,(2)}$

${\displaystyle (1)\,}$ និង ${\displaystyle (2)\,}$ យើង​បាន

${\displaystyle \color {blue}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

---

• សំរាយបញ្ជាក់ ${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=\color {magenta}2R}$

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង ${\displaystyle BC=a,\quad \angle A=A}$

(ក) - ករណី ${\displaystyle 0<\angle A<{\frac {\pi }{2}}}$ (មុំ A ជាមុំស្រួច)

ករណីមុំ A ជាមុំស្រួច

BD ជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់ ។

នាំអោយ ${\displaystyle BD=2R\,}$ (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)

ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

${\displaystyle \angle A=\angle D\,}$ (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន

${\displaystyle {\rm {BD}}=2R,\ }$ និង ${\displaystyle \angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}\ }$

តាង ${\displaystyle \angle {\rm {BDC}}=\angle D=D}$ គេបាន

${\displaystyle \sin D={\frac {BC}{BD}}={a \over 2R}\qquad \Rightarrow {\frac {a}{\sin D}}=2R}$

ដោយមុំ D = A គេបាន ${\displaystyle {a \over \sin A}=2R}$

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

${\displaystyle {b \over \sin B}=2R}$

${\displaystyle {c \over \sin C}=2R}$

ហេតុនេះ ${\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}$

(ខ) - ករណី ${\displaystyle \angle A={\frac {\pi }{2}}}$ (មុំ A ជាមុំកែង)

ករណីមុំ A = ៩០^០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

${\displaystyle BC=2R=a\,}$

${\displaystyle \Rightarrow \sin A=\sin {\frac {\pi }{2}}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}={\frac {2R}{1}}=2R\qquad \color {blue}(i)}$

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន

${\displaystyle \sin B={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}}={\frac {b}{2R}}\qquad {\frac {b}{\sin B}}=2R\qquad \color {blue}(ii)}$

${\displaystyle \sin C={\frac {AB}{BC}}={\frac {c}{a}}={\frac {c}{2R}}\qquad {\frac {c}{\sin C}}=2R\qquad \color {blue}(iii)}$

តាម${\displaystyle \color {blue}(i)\quad (ii)}$ និង ${\displaystyle \color {blue}\quad (iii)}$ យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

${\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}$

(គ) - ករណី ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<\angle A<\pi }$     (មុំ A ជាមុំទាល)

ករណីមុំ A ជាមុំទាល

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)​​គេបាន

${\displaystyle A+D=\pi \qquad D=\pi -A\,}$ (ដែល ${\displaystyle A=\angle A,\quad D=\angle D\,}$ )

${\displaystyle \Rightarrow \sin D=\sin(\pi -A)=\sin A}$

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

${\displaystyle \Rightarrow BD=2R\,}$

BCD ជាត្រីកោណកែង​ត្រង់ C គេបាន

${\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {BC}{BD}}={\frac {a}{2R}}\qquad \Rightarrow {\frac {a}{\sin A}}=2R}$

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}=2R}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sin C}}=2R}$

ហេតុនេះ ${\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}$

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ${\displaystyle \color {magenta}{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R}$ ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។

បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=BH+HC\\&=AB\cdot \cos B+AC\cdot \cos C\\&={\color {blue}c\cos B+b\cos C}\\\Rightarrow b&=a\cos C+c\cos A\\\Rightarrow c&=a\cos B+b\cos A\end{aligned}}}$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos {(B+C)}\\&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos {B}\cos {C}-2bc\sin {B}\sin {C}\\&=(b\cos {C}+c\cos {B})^{2}+(b\sin {C}-c\sin {B})^{2}\\&=a^{2}+(b\sin {C}-c\sin {B})^{2}\\&\Rightarrow b\sin {C}-c\sin {B}=0\\&\Longleftrightarrow {\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}\qquad \color {MidnightBlue}(i)\end{aligned}}}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះ

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos {(A+C)}\Rightarrow {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {c}{\sin {C}}}\qquad \color {MidnightBlue}(ii)}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos {(A+B)}\Rightarrow {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}\qquad \color {MidnightBlue}(iii)}$

ដូចនេះ តាម ${\displaystyle \color {MidnightBlue}(i),\quad (ii)}$ និង ${\displaystyle \color {MidnightBlue}(iii)}$ គេបាន

${\displaystyle \color {magenta}{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

អនុវត្ត

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ

${\displaystyle a\cos A+b\cos B+c\cos C={\frac {2S}{R}}}$

ដែល ${\displaystyle S\,}$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\Rightarrow {\begin{cases}a=2RsinA\\b=2RsinB\\c=2RsinC\\\end{cases}}}$

យើងបាន:

${\displaystyle {\begin{aligned}acosA+bcosB+ccosC&=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC\\&=R(2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC)\\&=R(2sinAcosA+sin2B+sin2C)\\&=R[2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)]\\&=R[2sinAcosA+2sinAcos(B-C)]\\&(B+C=\pi -A\Rightarrow sin(B+C)=sin(\pi -A)=sinA)\\&=2RsinA[cos(B-C)-cos(B+C)]\\&(A=\pi -(B+C)\Rightarrow cosA=cos[\pi -(B+C)]=-cos(B+C)\\&=2RsinA\cdot 2sinBsinC\\&=4RsinA\cdot sinBsinC\\&=4R\cdot {\frac {a}{2R}}\cdot {\frac {b}{2R}}\cdot {\frac {c}{2R}}\\&={\frac {abc}{2R^{2}}}\,\,\,\,(1)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ S}$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ${\displaystyle \Rightarrow S={\frac {abc}{4R}}\Rightarrow abc=4RS}$

ជំនួស abc ក្នុង ${\displaystyle (1)\,}$ យើងបាន

${\displaystyle acosA+bcosB+ccosC={\frac {4RS}{2R^{2}}}={\frac {2S}{R}}}$

ដូចនេះ

${\displaystyle acosA+bcosB+ccosC={\frac {2S}{R}}}$

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ

ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC

គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរដែលមានផ្ចិត O កាំ ${\displaystyle \rho \,}$ ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះ​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​អាចសរសេរ

${\displaystyle {{\sin a} \over {\sin A}}={{\sin b} \over {\sin B}}={{\sin c} \over {\sin C}}={\frac {6V_{\mathrm {OABC} }}{\rho ^{3}\sin a\,\sin b\,\sin c}}}$

ដែល

• ${\displaystyle \alpha =\angle A\,}$
• ${\displaystyle \beta =\angle B\,}$
• ${\displaystyle \gamma =\angle C\,}$
• ${\displaystyle V_{\mathrm {OABC} }\,}$ ជាមាឌនៃតេត្រាអែត OABC ។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ទ្រឹស្តីបទតង់សង់