수학에서 지시 함수(指示函數, 영어:indicator function), 정의 함수(定義函數), 또는 특성 함수(特性函數, 영어:characteristic function)는 특정 집합에 특정 값이 속하는지를 표시하는 함수로, 특정 값이 집합에 속한다면 1, 속하지 않는다면 0의 값을 가진다. 기호 1이나 I로 표기되며 아래첨자로 나타내는 집합을 표시한다. 때로는 굵은글씨 또는 칠판 볼드체로 쓰인다.
쿠르트 괴델은 1934년에 논문 "On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems"에서 표현 함수를 설명했다.(이 논문은 마틴 데이비스 (Martin Davis)의 The Undecidable의 pp. 41-74에 게재되어있다.)
"각각의 클래스 또는 관계 R의 표현 함수φ는 R(x1, . . ., xn)이면 φ(x1, . . ., xn) = 0이고, ~R(x1, . . ., xn)일 때는 φ(x1, . . ., xn) = 1이다." (p. 42; the "~" indicates logical inversion i.e. "NOT")
스티븐 클레이니 (1952) (p. 227)는 원시 재귀 함수의 내용 중에서 같은 정의를 논리가 거짓이면 1이고 참이면 0이 나오는 논리 P의 함수 φ를 제공했다.
예를 들어, 어떤 하나의 함수가 0이면 표현 함수의 곱은 φ1*φ2* . . . *φn = 0이기 때문에 논리연산 "또는"의 역할을 한다. 만약 φ1 = 0 이거나 φ2 = 0 이거나 . . . 이거나 φn = 0 이라면 그 곱은 0이다. 독자들이 보았을 때 논리적인 반전이라고 생각하는 것, 즉 표현 함수가 함수 R이 "참"일 때, 또는 "만족"할 때 0이 되는 점은 클레이니의 다음의 연산에서 중요한 역할을 한다:논리 연산 OR, AND, 그리고 IMPLY(p.228) 제한- (p.228) 과 무제한- (p.279ff) 뮤 연산자들과 (Kleene (1952)) CASE 함수이다(p.229).
고전 수학에서 집합의 특성함수는 집합의 원소이면 1, 아니면 0을 낸다. 퍼지 집합 이론에서 특성함수는 실수 구간 [0, 1]에서 반환하도록 일반화 되거나, 심지어 대수 또는 [[구조 (논리학}|구조]](보통 적어도 부분 순서 집합 또는 격자가 되어야 한다)에서 값을 반환하기도 한다. 이런 일반화된 특성함수는 대부분 멤버십 함수라고 하며, 해당 집합은 퍼지 집합이라고 한다. 퍼지집합은 "키가 크다", "덥다" 등과 같이 많은 실생활에서 쓰이는 서술어에 나타나는 회원 등급의 점진적인 변화를 모델링한다.
특정한 지시함수는 단위 계단 함수이다. 단위 계단 함수는 일 차원 양수 구간 [0, ∞)의 지시함수이다. 헤비사이드 계단 함수 H(x)의 분포 미분은 디랙 델타 함수와 같다:
이것은 다음의 성질을 따른다:
단위 계단 함수의 미분은 양의 절반 선에 의해 주어진 영역의 '경계'에서 '내부 정상 도함수'로 볼 수 있다. 고차원에서는 단위 계단 함수는 일부 정의역 D의 지시 함수로 일반화되는 반면, 도함수는 내부 정상 도함수로 자연스럽게 일반화된다. D의 표면을 S로 표현하면, 지시 함수의 내부 정상 도함수가 '표면 델타 함수'δS(x)를 발생 시킨다는 것을 알 수 있다.
여기서 n는 S의 바깥쪽 법선이다. 표면 델타 함수는 다음과 같은 특성을 가지고 있다:[1]
Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.
Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN0-521-00758-5.
Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control8: 338–353.
Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications18: 145–174
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