국소체

대수적 수론에서 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다.

정의

위상체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

• 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이다.
• 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 값매김(discrete valuation)에 대하여 완비 거리 공간을 이루고, 또한 그 이산 값매김환의 잉여류체가 유한체이다.
• 다음 목록 가운데 하나와 동형이다.
  • (아르키메데스 체) 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$
  • (체의 표수가 0인 비아르키메데스 체) p진수 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$의 유한 확대
  • (체의 표수가 양수인 비아르키메데스 체) 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}((x))}$

비아르키메데스 국소체

비아르키메데스 국소체 ${\displaystyle K}$의 이산 값매김 ${\displaystyle |\cdot |}$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon |a|\leq 1\}}$

은 이산 값매김환을 이루며, 이를 ${\displaystyle K}$의 대수적 정수환이라고 한다. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 가역원군은

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=\{a\in K\colon |a|=1\}}$

이며, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼은

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in K\colon |a|<1\}}$

이다. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$는 주 아이디얼 정역이므로 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$은 주 아이디얼인데, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer) ${\displaystyle \varpi \in {\mathcal {O}}_{K}}$라고 한다. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$의 잉여류체 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}}$는 유한체이다.

비아르키메데스 국소체 ${\displaystyle K}$의 ${\displaystyle n}$차 가역원군(영어: ${\displaystyle n}$th unit group)은 다음과 같다.

${\displaystyle U_{K}^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}_{K}^{\times }:u\equiv 1{\pmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}\right\}}$

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }}$이다. 이에 대하여

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=U_{K}^{(0)}\supseteq U_{K}^{(1)}\supseteq \cdots }$

이며,

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/U_{K}^{(n)}\cong ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }}$

이다.

가역원군의 구조

국소체 ${\displaystyle K}$의 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 ${\displaystyle K}$가 아르키메데스 체일 경우,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\cong (\mathbb {Z} /(2))\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong (\mathbb {R} /(2\pi ))\times \mathbb {R} }$

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약 ${\displaystyle K}$가 비아르키메데스 체일 경우,

${\displaystyle K^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U_{K}^{(1)}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle (\varpi )}$는 ${\displaystyle K}$의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, ${\displaystyle \mu _{q-1}}$은 ${\displaystyle K}$의 정수환의 잉여류체 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(\varpi )}$의 1의 거듭제곱근들의 군이며, ${\displaystyle U_{K}^{(1)}}$는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$의 차수가 ${\displaystyle d}$인 유한 확대라면

${\displaystyle K^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\oplus \mathbb {Z} /p^{a}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle q}$는 ${\displaystyle K}$의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p^{n}}((x))}$이라면

${\displaystyle \left(\mathbb {F} _{p^{n}}((x))\right)^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(p^{n}-1)\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}$

이다.

참고 문헌

• Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7.
• Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Local field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Local field”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 대역체
• 유체론