사영 가군

환론에서 사영 가군(射影加群, 영어: projective module)은 자유 가군을 직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.

정의

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle P}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다.

• 모든 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$가 분할 완전열이다.
• ${\displaystyle P\oplus Q}$가 자유 가군인 왼쪽 가군 ${\displaystyle Q}$가 존재한다.
• 함자 ${\displaystyle \hom(P,-)\colon R{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }$가 완전 함자이다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$는 아벨 군들의 범주이다.
• 모든 가군 준동형 ${\displaystyle f\colon P\to M}$ 및 전사 가군 준동형 ${\displaystyle \pi \colon {\tilde {M}}\twoheadrightarrow M}$에 대하여, ${\displaystyle \pi \circ {\tilde {f}}=f}$인 가군 준동형사상 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon P\to {\tilde {M}}}$이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}&&P\\&{\scriptstyle \exists }\swarrow &\downarrow \\{\tilde {M}}&\to &M&\to &0\end{matrix}}}$

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

국소 자유 가군

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군(영어: pointwise free module)이라고 한다.

• 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M}$은 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-자유 가군이다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군(영어: locally free module)이라고 한다.

• 모든 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}$에 대하여, ${\displaystyle R_{f}\otimes _{R}M}$가 ${\displaystyle R_{f}}$-자유 가군이 되는 ${\displaystyle f\in R\setminus {\mathfrak {p}}}$가 존재한다.

이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층(영어: pointwise free sheaf of modules)이라고 한다.

• 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$-자유 가군이다.

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, 영어: locally free sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules localement libre)이라고 한다.^{[1]:48, (5.4.1)}

• 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}\cong {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}}$가 되는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$ 및 기수 ${\displaystyle \kappa }$가 존재한다.

국소 자유 가군층의 기하학적 정의

스킴 ${\displaystyle Y}$ 위의, 계수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$의 대수적 벡터 다발(영어: algebraic vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 ${\displaystyle E}$
• 스킴 사상 ${\displaystyle \pi \colon E\to Y}$
• 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
• 각 ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$에 대하여, 스킴 동형 사상 ${\displaystyle i_{U}\colon f^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle U,V\in {\mathcal {U}}}$ 및 임의의 아핀 열린집합 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V}$에 대하여, ${\displaystyle i_{V}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}\to \mathbb {A} _{\operatorname {Spec} R}^{n}}$는 어떤 ${\displaystyle R}$-선형 변환 ${\displaystyle T_{U,V,R}\in \operatorname {Mat} (n,n;R)}$에 의하여 유도된다.

${\displaystyle Y}$ 위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상

${\displaystyle \phi \colon (E,\pi ,{\mathcal {U}},i)\to (E',\pi ,{\mathcal {U}}',i')}$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle Y}$-스킴의 동형 사상 ${\displaystyle \phi \colon E\to E'}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cup {\mathcal {U}}',(i,i'))}$는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$, ${\displaystyle U'\in {\mathcal {U}}'}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap U'}$에 대하여, ${\displaystyle i_{U'}\circ i_{U}^{-1}\colon \mathbb {A} _{R}^{n}\to \mathbb {A} _{R}^{n}}$는 어떤 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;R)}$의 원소에 의하여 유도된다.

이 경우, 계수 ${\displaystyle n}$의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 ${\displaystyle n}$의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.^{[2]:128–129, Exercise Ⅱ.5.18} 구체적으로, 대수적 벡터 다발 ${\displaystyle \pi \colon E\to Y}$에 대응되는 가군층은 다음과 같다.

${\displaystyle \Gamma (E,U)=\{s\colon U\to E\colon \pi \circ s=\operatorname {id} _{U}\}\qquad (U\in \operatorname {Open} (Y))}$

성질

일반적 환의 경우

(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군

가환환의 경우

국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군

국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 사영 가군이다.
• 국소 자유 가군이다.

세르-스완 정리에 따르면, 가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 유한 생성 사영 가군의 범주는 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 국소 자유 가군이다.
• 점별 자유 가군이다.
• 사영 가군이다.
• 평탄 가군이다.

특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.

계수

점별 자유 가군층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 ${\displaystyle x\in X}$에서의 계수(영어: rank)는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$-자유 가군 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$의 계수이며, 이는 함수

${\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} }$

를 정의한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {Card} }$는 모든 기수의 모임이다.)

${\displaystyle \operatorname {Card} }$(의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 ${\displaystyle \dim M\colon X\to \operatorname {Card} }$는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

예

${\displaystyle e\in R}$가 멱등원이라고 하자 (즉, ${\displaystyle e^{2}=e}$를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 ${\displaystyle e}$로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 ${\displaystyle Re}$는 ${\displaystyle R}$의 사영 왼쪽 가군이다.