단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 영어: simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$의 아이디얼은 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 부분 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ 가운데

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}\}\subseteq {\mathfrak {i}}}$

인 것이다.

표수 0의 체 위의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 ${\displaystyle \{0\}}$과 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 전체이다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{0\}}$인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 영어: classical Lie superalgebra)라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$의, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 하며, ${\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)}$, ${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {s}}}(n)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)}$이 있다.

분류

복소수 단순 리 초대수

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.^{[1]:45, Theorem 2}

이름	기호	조건	보손 부분 대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수 선형	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$	${\displaystyle 1\leq m<n}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle m^{2}+n^{2}-1}$	${\displaystyle (\mathbf {n} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {n} }},\mathbf {m} )}$	${\displaystyle 2mn}$
사영 특수 선형	${\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)}$	${\displaystyle m\geq 2}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(m)}$	${\displaystyle 2n^{2}-2}$	${\displaystyle (\mathbf {m} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {m} }},\mathbf {m} )}$	${\displaystyle 2m^{2}}$
직교-심플렉틱	${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$	${\displaystyle m\geq 1}$, ${\displaystyle n\geq 1}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$	${\displaystyle m(m-1)/2+n(2n+1)}$	${\displaystyle (\mathbf {m} ,\mathbf {2n} )}$	${\displaystyle 2mn}$
이상한	${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$	${\displaystyle n\geq 3}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle n^{2}}$	${\displaystyle \mathbf {(n^{2}-1)} }$	${\displaystyle n^{2}-1}$
페리플렉틱	${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}$	${\displaystyle n\geq 3}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle n^{2}}$	${\displaystyle \mathbf {n} ^{{\text{sym}}\otimes 2}\oplus {\bar {\mathbf {n} }}^{\wedge 2}}$	${\displaystyle n^{2}}$
예외	${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}$	${\displaystyle \alpha \neq 0,-1,+1}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)}$	9	${\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )}$	8
예외	${\displaystyle {\mathfrak {f}}(3|1)}$		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {o}}(7)}$	24	${\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {8} )}$	16
예외	${\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}$		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {g}}_{2}}$	17	${\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {7} )}$	14
카르탕형	${\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)}$	${\displaystyle n\geq 2}$	(복잡함)	${\displaystyle n2^{n-1}}$	(복잡함)	${\displaystyle n2^{n-1}}$
카르탕형 특수	${\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)}$	${\displaystyle n\geq 3}$	(복집함)	${\displaystyle (n-1)2^{n-1}+(n-2\lfloor n/2\rfloor )}$	(복잡함)	${\displaystyle (n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor )}$
카르탕형 특수	${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {s}}}(n)}$	${\displaystyle 2\mid n\geq 4}$	(복잡함)	${\displaystyle (n-1)2^{n-1}}$	(복잡함)	${\displaystyle (n-1)2^{n-1}+1}$
해밀턴형	${\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)}$	${\displaystyle n\geq 4}$	(복잡함)	${\displaystyle 2^{n-1}-2+(n-2\lfloor n/2\rfloor )}$	(복잡함)	${\displaystyle 2^{n-1}-(n-2\lfloor n/2\rfloor )}$

위 표에서 ${\displaystyle \mathbf {r} ^{{\text{sym}}\otimes 2}}$는 ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$의 대칭 성분이고, ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\wedge 2}}$는 ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;1)={\mathfrak {osp}}(4|2;-2)={\mathfrak {osp}}(4|2;-1/2)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$

${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )={\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha ^{-1})={\mathfrak {osp}}(4|2;-\alpha -1)}$

${\displaystyle {\mathfrak {w}}(2)={\mathfrak {sl}}(2|1)}$

${\displaystyle {\mathfrak {s}}(3)={\mathfrak {p}}(3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(4)={\mathfrak {sl}}(2|2)}$

이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

실수체 위의 고전 단순 리 초대수

실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.^{[1]:59, Theorem 9, §3[2]}

복소화	실수 형태	조건	보손 부분 대수
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle m\neq n}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )\oplus \mathbb {R} }$
	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(m|n)}$	${\displaystyle m\neq n}$, ${\displaystyle 2\mid m,n}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {su}}^{*}(n)\oplus \mathbb {R} }$
	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(m-p,p|n-q,q)}$	${\displaystyle m\neq n}$, ${\displaystyle 0<p<m}$, ${\displaystyle 0<q<n}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(m-p,p)\oplus {\mathfrak {su}}(n-q,q)\oplus {\mathfrak {u}}(1)}$
${\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)}$	${\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m;\mathbb {R} )}$		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )}$
	${\displaystyle {\mathfrak {psu}}^{*}(m|m)}$	${\displaystyle 2\mid m}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {su}}^{*}(m)}$
	${\displaystyle {\mathfrak {psu}}(m-p,p|m-q,q)}$	${\displaystyle 0<p,q<m}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(m-p,p)\oplus {\mathfrak {su}}(m-q,q)}$
	(이름 없음)		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {C} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m-p,p|2n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle 0\leq p\leq m}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(m-p,p;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )}$
	${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(m|2n-2q,2q)}$	${\displaystyle 2\mid m}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n-2q,2q;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}$	${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4-p,p|2;\alpha )}$	${\displaystyle p\in \{0,1,2\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4-p,p)\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}(7-p,p)}$	${\displaystyle p\in \{0,3\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(7-p,p;\mathbb {R} )}$
	${\displaystyle {\mathfrak {f}}(7-p,p)}$	${\displaystyle p\in \{1,2\}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(7-p,p;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}$	(이름 없음)		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {g}}_{2(-14)}}$
	(이름 없음)		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {g}}_{2(2)}}$
${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{*}(n)}$	${\displaystyle 2\mid n}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(n)}$
	${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n;\mathbb {R} )}$		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$	${\displaystyle {\mathfrak {uq}}(n-p,p;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle 0\leq p\leq n}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n-p,p)}$
	${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{*}(n)}$	${\displaystyle 2\mid n}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(n)}$
	${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n;\mathbb {R} )}$		${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )}$

예

일반·특수 선형 초대수

${\displaystyle (m|n)\times (m|n)}$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

여기서 ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle m\times m}$이고, ${\displaystyle B}$는 ${\displaystyle n\times n}$이다. ${\displaystyle (m|n)\times (m|n)}$ 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 영어: general linear Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.^[3]:§25

${\displaystyle \operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D}$

특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 영어: special lienar Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^[3]:§25

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon \operatorname {str} (m|n)=0\}}$

단위 행렬 ${\displaystyle 1_{m|n}}$의 경우 ${\displaystyle \operatorname {str} 1_{m|n}=m-n}$이므로, ${\displaystyle 1_{m|n}\in {\mathfrak {sl}}(m|n)}$일 필요 충분 조건은 ${\displaystyle m=n}$이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 영어: projective special linear Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)}$는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

${\displaystyle {\mathfrak {psl}}(m|m)=\left\{[M]_{\sim }\colon M\in {\mathfrak {sl}}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}}$

직교-심플렉틱 초대수

직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 영어: orthosymplectic Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^[3]:§25

${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon A^{\top }=-A,\;D^{\top }\Omega =-\Omega D,\;B=C^{\top }\Omega \right\}}$

여기서

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}$

이다.

페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수

페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 영어: periplectic Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}$는 다음과 같다.^{[3]:§25[4]:9, (1.14)}

${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A^{\top }=-D,\;B^{\top }=B,\;C^{\top }=-C,\;\operatorname {tr} A=0\right\}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {q}}}(n)}$를 다음과 같이 정의하자.

${\displaystyle {\tilde {\mathfrak {q}}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname {tr} B=0\right\}}$

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 영어: queer Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$이라고 한다.^[3]:§25

${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)=\{[M]_{\sim }\colon M\in {\tilde {\mathfrak {q}}}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}}$

𝔬𝔰𝔭(4|2;α)

${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}$ 또는 ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(2,1;\alpha )}$는 구체적으로 다음과 같다.^[3]:§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)^{\oplus 3}}$이며, 이에 대한 페르미온 표현은 ${\displaystyle (\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )}$이다. 이에 따라, 지표

• ${\displaystyle a,b\in \{1,2,3\}\in \mathbb {Z} /(3)}$ (${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$의 정의 표현의 지표)
• ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$ 지표)
• ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{1,2\}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$의 정의 표현의 지표)

를 사용하면, 보손 생성원 ${\displaystyle t^{a}}$ 및 페르미온 생성원 ${\displaystyle F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}}$에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle [t_{i}^{a},t_{j}^{b}]=\mathrm {i} \delta ^{ab}\epsilon _{ijk}t_{k}^{a}}$

${\displaystyle [t_{i}^{a},F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}]={\frac {1}{2}}\sigma _{\alpha _{a}'\alpha _{a}}^{i}F_{\alpha _{1}\dotso \alpha _{a}'\dotso \alpha _{3}}}$

${\displaystyle \{F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}},F_{\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}}\}=\sum _{a=1}^{3}s_{a}(C\sigma ^{i})_{\alpha _{a}\beta _{a}}C_{\alpha _{a+1}\beta _{a+1}}C_{\alpha _{a+2}\beta _{a+2}}t_{i}^{a}\qquad (s_{1},s_{2},s_{3}\in \mathbb {C} )}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \sigma ^{i}}$는 파울리 행렬이며,

${\displaystyle C=\mathrm {i} \sigma ^{2}}$

는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 ${\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3})}$는 야코비 항등식에 의하여

${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

을 만족시켜야 하며, 또한

${\displaystyle (s_{1},s_{2},s_{3})\sim (s_{\sigma (1)},s_{\sigma (2)},s_{\sigma (3)})\sim (\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{3})\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\sigma \in \operatorname {Sym} (3))}$

이다. 즉, ${\displaystyle [s_{1}:s_{2}:s_{3}]}$은 3차원 복소수 사영 평면 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은

${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

으로 정의되는 사영 직선의 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$에 대한 몫 오비폴드이다.

이에 따라,

${\displaystyle \alpha =s_{2}/s_{1}\in \mathbb {CP} ^{1}}$

로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle \alpha \sim \alpha ^{-1}\sim -(\alpha +1)\sim -{\frac {1}{\alpha +1}}\sim -{\frac {\alpha }{\alpha +1}}\sim -1-{\frac {1}{\alpha }}}$

이 경우, ${\displaystyle \alpha \sim 1\sim -2\sim -1/2}$인 점은 ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2)}$에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.^{[2]:694–695, §5B}

보손 리 대수	대칭	${\displaystyle \alpha }$의 조건	${\displaystyle \alpha }$의 동치 관계	${\displaystyle \alpha }$의 표준 영역
${\displaystyle {\mathfrak {o}}(2,2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\oplus 3}}$	${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {RP} ^{1}}$	${\displaystyle \alpha \sim 1/\alpha \sim -1-\alpha }$	${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$
${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \alpha \in -1/2+\mathrm {i} \mathbb {R} }$	(없음)	${\displaystyle \alpha \in -1/2+\mathrm {i} \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\mathfrak {o}}(4;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2\mathbb {R} )^{\oplus 2}\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}$	${\displaystyle \alpha \in \mathbb {RP} ^{1}}$	${\displaystyle \alpha \mapsto 1/\alpha }$	${\displaystyle \alpha \in [-1,1]}$

이 경우, 복소수 계수 ${\displaystyle \alpha }$의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$ 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 ${\displaystyle \alpha }$의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

카르탕형 리 초대수

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 외대수 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge V}$ 위의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 미분들, 즉 ${\displaystyle K}$-선형 변환

${\displaystyle d\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)}$

가운데

${\displaystyle d(a\vee b)=(da)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge db\qquad \left(b\in \bigwedge (V),\;a\in \bigwedge _{2\bullet +1}(V)\cup \bigwedge _{2\bullet }(V)\right)}$

를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 ${\displaystyle \operatorname {W} (V)}$라고 하자. ${\displaystyle V}$의 기저 ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$를 잡았을 때, ${\displaystyle d\in \operatorname {W} (V)}$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle d=\sum _{i\in I}a_{i}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\qquad \left(a_{i}\in \bigwedge (V)\;\forall i\in I\right)}$

${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$의 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-등급으로부터, 이는 ${\displaystyle \operatorname {W} (V)}$ 위에 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히

${\displaystyle [d,d']=d\circ d'\pm d'\circ d}$

이며, 여기서 ± 부호는 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ 등급에 의하여 결정된다.

만약 ${\displaystyle V}$가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 ${\displaystyle {\mathfrak {w}}(\dim V)}$로 표기한다.

특수 카르탕형 리 초대수(영어: special Cartan-type Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)}$과 ${\displaystyle {\mathfrak {s}}(n)}$ 및 해밀턴형 리 초대수(영어: Hamilton-type Lie superalgebra) ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(n)}$은 모두 ${\displaystyle {\mathfrak {w}}(n)}$의 부분 리 초대수이다.

역사

단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.^[5][1][6]