대합 대수

환론에서 대합 대수(對合代數, 영어: algebra with involution, *-algebra)는 호환되는 대합이 주어진 결합 대수이다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 대합 대수(영어: algebra with involution, *-algebra) ${\displaystyle (A,^{*})}$은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

• ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
• ${\displaystyle ^{*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }}$는 ${\displaystyle K}$-가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 ${\displaystyle A^{\operatorname {op} }}$는 반대환을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
  • 임의의 ${\displaystyle k\in K}$ 및 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (ka)^{*}=ka^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle a^{**}=a}$

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 위의 대합 대수를 대합환이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환 ${\displaystyle (K,^{*})}$ 위의 대합 대수 ${\displaystyle (A,^{*})}$는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

• ${\displaystyle A}$는 ${\displaystyle K}$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
• ${\displaystyle ^{*}\colon A\to A^{\operatorname {op} }}$는 다음을 만족시킨다.
  • 임의의 ${\displaystyle k\in K}$ 및 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (ka)^{*}=k^{*}a^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (ab)^{*}=b^{*}a^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}}$
  • 임의의 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle a^{**}=a}$

예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

특별한 원소

가환 대합환 ${\displaystyle (K,^{*})}$가 주어졌으며, 그 부분환 ${\displaystyle K_{0}=\{\lambda \in K\colon \lambda =\lambda ^{*}\}}$을 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle (K,^{*})}$-대합 대수 ${\displaystyle A}$의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.

용어	정의	비고
자기 수반 원소(영어: self-adjoint element)	${\displaystyle a=a^{*}}$	자기 수반 원소들은 ${\displaystyle a\bullet b=ab+ba}$ 아래 ${\displaystyle K_{0}}$-요르단 대수를 이룸
반자기 수반 원소(영어: anti-self-adjoint element)	${\displaystyle a=-a^{*}}$	반자기 수반 원소들은 리 괄호 ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ 아래 ${\displaystyle K_{0}}$-리 대수를 이룸
등거리원(等距離元, 영어: isometry element)	${\displaystyle a^{*}a=1}$
유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element)	정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 ${\displaystyle a^{-1}=a^{*}}$)	유니터리 변환의 개념의 일반화
정규원(正規元, 영어: normal element)	${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a}$	정규 작용소의 개념의 일반화
사영원(射影元, 영어: projection element)	멱등원이자 자기 수반 원소 (즉, ${\displaystyle a=a^{2}=a^{*}}$)
부분 등거리원(部分等距離元, 영어: partial isometry element)	${\displaystyle a^{*}a}$가 사영원
음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)	${\displaystyle \exists b\colon a=b^{*}b}$

예

자명한 대합환

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 임의의 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 위에 항등 함수 대합

${\displaystyle a=a^{*}}$

을 주면, 이는 ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다.

등급환

가환환 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle R}$ 사이의 환 준동형 ${\displaystyle K\to R}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle R}$ 위의 대합을 항등 함수로 정의한다면 ${\displaystyle R}$는 (자명한) ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로, ${\displaystyle R}$에 추가로 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-등급 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

${\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}}$

${\displaystyle (r_{0}+r_{1})^{*}=r_{0}-r_{1}\qquad \forall r_{0}\in R_{0},\;r_{1}\in R_{1}}$

이 역시 ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다.

체의 확대

복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로, 체 ${\displaystyle K}$ 및 ${\displaystyle n\in K^{\times }\setminus (K^{\times })^{2}}$에 대하여, 2차 확대 ${\displaystyle K({\sqrt {n}})}$ 위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

${\displaystyle (a+b{\sqrt {n}})^{*}=a-b{\sqrt {n}}\qquad \forall a,b\in K}$

이는 ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다.

다항식환

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$ 위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다.

${\displaystyle p^{*}(x)=p(-x)\qquad \forall p\in K[x]}$

그렇다면 이는 ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다.

행렬환

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}$에서, 대합을 전치행렬로 놓는다면 이는 ${\displaystyle K}$-대합 대수를 이룬다.

사원수환

사원수환 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 (사원수 켤레에 대하여) ${\displaystyle \mathbb {R} }$-대합 대수를 이루지만, ${\displaystyle \mathbb {C} }$-대합 대수를 이루지 않는다.

C* 대수

 이 부분의 본문은 C* 대수입니다.

모든 C* 대수나 폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$는 에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.

같이 보기

• C* 대수
• 케일리-딕슨 구성
• 폰 노이만 대수

외부 링크

• “Involution algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Involutive algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Star-algebra”. 《nLab》 (영어).