요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, 영어: Jordan algebra)는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.^[1][2][3][4]

정의

쌍선형 형식을 통한 정의

2가 가역원인 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 요르단 대수 ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A}$
• 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 ${\displaystyle \bullet \colon \operatorname {Sym} _{K}^{2}(A)\to A}$
• 이 이항 연산의 항등원 ${\displaystyle 1_{A}\in A}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (요르단 항등식 영어: Jordan identity) ${\displaystyle (x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet (x\bullet x))\qquad \forall x,y\in A}$

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

이차 형식을 통한 정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 요르단 대수 ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A}$
• 원소 ${\displaystyle 1_{A}\in A}$
• 함수 ${\displaystyle U\colon A\to \hom _{K}(A,A)}$, ${\displaystyle x\mapsto U_{x}}$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle U_{1_{A}}=1_{A}}$
• ${\displaystyle U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}}$
• ${\displaystyle U_{U_{x}y}=U_{x}\circ U_{y}\circ U_{x}}$
• ${\displaystyle U_{x}\circ V_{y,x}=V_{x,y}\circ U_{x}}$ (${\displaystyle V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_{x}-U_{z})y}$)

또한, 이 공리들은 ${\displaystyle K}$의 임의의 스칼라 확장 ${\displaystyle K\to {\tilde {K}}}$에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

첫째 정의	둘째 정의	${\displaystyle A}$가 결합 대수일 경우
${\displaystyle 2x\bullet (x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y}$	${\displaystyle U_{x}y}$	${\displaystyle xyx}$
${\displaystyle 2\left(x\bullet (y\bullet z)+(x\bullet y)\bullet z-(x\bullet z)\bullet y\right)}$	${\displaystyle V_{x,y}z=(U_{x+z}-U_{x}-U_{z})y}$	${\displaystyle xyz+zyx}$
${\displaystyle x\bullet y}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}V_{x,y}1}$	${\displaystyle (xy+yx)/2}$

그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

연산

직합

같은 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 두 요르단 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$가 주어졌을 때, 그 직합 ${\displaystyle A\oplus B}$을 정의할 수 있다. ${\displaystyle K}$-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

${\displaystyle (a,b)\bullet (a',b')=(a\bullet a',b\bullet b')\qquad \forall a,a'\in A,\;b,b'\in B}$

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수(영어: irreducible Jordan algebra)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.^{[5]:38, §5}

몫

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 요르단 대수 ${\displaystyle A}$의 요르단 아이디얼(영어: Jordan ideal)은 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-부분 가군 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}$이다.

• ${\displaystyle A\bullet {\mathfrak {I}}\subseteq {\mathfrak {I}}}$

${\displaystyle U}$로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.

• ${\displaystyle U_{\mathfrak {I}}(A)+U_{A}({\mathfrak {I}})\subseteq {\mathfrak {I}}}$

요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수(영어: quotient Jordan algebra)

${\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}$

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$이 주어졌을 때, 그 핵 ${\displaystyle \phi ^{-1}(0_{B})\subseteq A}$은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (${\displaystyle {\mathfrak {I}}\neq A}$라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼(${\displaystyle \{0\},A}$)을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, 영어: simple Jordan algebra)라고 한다.

동위 연산

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 요르단 대수 ${\displaystyle (A,\bullet )}$의 임의의 원소 ${\displaystyle u\in A}$에 대하여, ${\displaystyle U_{u}\colon A\to A}$가 전단사 함수라고 하자 (즉, ${\displaystyle U_{u}\in \operatorname {GL} (A;K)}$). 그렇다면, ${\displaystyle A}$ 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

${\displaystyle U_{x}^{(u)}=U_{x}\circ U_{u}}$

만약 ${\displaystyle 2\in \operatorname {Unit} (K)}$라면, 새 이항 연산 ${\displaystyle \bullet ^{(u)}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle x\bullet ^{(u)}y={\frac {1}{2}}V_{x,u}(z)=x\bullet (u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y-(x\bullet y)\bullet u}$

이 요르단 대수 구조를 ${\displaystyle A^{(u)}}$라고 하며, 이를 ${\displaystyle A}$의 동위(同位, 영어: isotope)라고 한다.^{[1]:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2)} (${\displaystyle U_{u}}$가 가역원이라는 조건은 ${\displaystyle A^{(u)}}$의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

${\displaystyle A^{(1)}=A}$

${\displaystyle A^{(u)(v)}=A^{U_{u}(v)}}$

이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.^{[1]:233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)}

피어스 분해

요르단 대수 ${\displaystyle (A,\bullet )}$에서, 만약 어떤 원소 ${\displaystyle e\in A}$가 ${\displaystyle e^{2}=e}$를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.

${\displaystyle e\bullet ((2e-1)\bullet ((e-1)\bullet x))=2(e\bullet (e\bullet x))-3e\bullet (e\bullet x)+e\bullet x=0\qquad \forall x\in A}$

이에 따라서, 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$이며 ${\displaystyle A}$가 유한 차원이라면, ${\displaystyle e}$에 의한 왼쪽 곱셈 사상 ${\displaystyle (e\bullet )\colon A\to A}$의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, ${\displaystyle A}$는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

${\displaystyle A=A_{0}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{1}(e)}$

이를 피어스 분해(영어: Peirce decomposition)라고 한다.

구조 리 대수

${\displaystyle K}$가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, ${\displaystyle (A,\bullet )}$가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

${\displaystyle [x\bullet ,y\bullet ]\in {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}$

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

${\displaystyle (x\bullet )\colon A\to A\in {\mathfrak {gl}}(A;K)}$

이며, 리 괄호는 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(A;K)}$의 것이며, ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A,\bullet )}$은 ${\displaystyle A}$의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, ${\displaystyle K}$-벡터 공간

${\displaystyle {\mathfrak {str}}(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A}$

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 ${\displaystyle K}$-리 대수로 만들 수 있다.

${\displaystyle [\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {str}}(A)}=[\delta ,\epsilon ]_{{\mathfrak {der}}(A)}\qquad \forall \delta ,\epsilon \in {\mathfrak {der}}(V)}$

${\displaystyle [\delta ,x]=\delta (x)\qquad \forall \delta \in {\mathfrak {der}}(V),\;x\in A}$

${\displaystyle [x,y]=[x\bullet ,y\bullet ]\qquad \forall x,y\in A}$

이를 요르단 대수 ${\displaystyle A}$의 구조 리 대수(構造Lie代數, 영어: structure Lie algebra)라고 한다.^{[1]:12, §Ⅰ.0.3}

물론, ${\displaystyle A}$의 항등원 ${\displaystyle 1_{A}\in A}$은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 ${\displaystyle K}$-리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {str}}'(A)={\mathfrak {der}}(A)\oplus A/\operatorname {Span} _{K}\{1_{A}\}}$

를 정의할 수 있다.

성질

일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 ${\displaystyle (A,\bullet )}$에서 다음이 성립한다.

• (멱결합성 영어: power-associativity) 임의의 원소 ${\displaystyle x\in A}$에 대하여, ${\displaystyle x}$로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, ${\displaystyle x^{n}}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)과 같은 표현이 잘 정의된다.
• ${\displaystyle (x^{m}\bullet y)\bullet x^{n}=x^{m}\bullet (y\bullet x^{n})\qquad \forall x,y\in A,\;m,n\in \mathbb {N} }$

두 명제의 증명:

편의상, 결합자

${\displaystyle [a,b,c]=(a\bullet b)\bullet c-a\bullet (b\bullet c)}$

를 정의하자.

우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.

${\displaystyle [a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b]=0}$

${\displaystyle [a,b,c]=-[c,b,a]}$

요르단 항등식에 의하여,

${\displaystyle ((\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)-((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^{2}=0}$

를 전개하고, ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.

${\displaystyle [b\bullet c,d,a]+[a\bullet b,d,c]+[a\bullet c,d,b]=0}$

수학적 귀납법을 사용하여, ${\displaystyle n\leq N}$에 대하여 ${\displaystyle x^{n}}$이 잘 정의된다고 하자. 이제,

${\displaystyle m+n\leq N\implies [x^{m},y,x^{n}]=0}$

임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해

${\displaystyle [x^{m},y,x^{n}]=[x^{m-1}x,y,x^{n}]=[x^{m-1},y,x^{n+1}]+[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}$

이므로, 이를 통해

${\displaystyle -[x^{n},y,x^{m}]=[x^{m},y,x^{n}]=m[x,y,x^{m+n-1}]\qquad (m+n\leq N)}$

이다. 그런데 ${\displaystyle n=1}$로 놓으면

${\displaystyle -[x,y,x^{m}]=m[x,y,x^{m}]}$

이 되어, 즉 ${\displaystyle [x^{n},y,x^{m}]\propto [x,y,x^{m}]=0}$이 된다.

맥도널드 원리

3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 ${\displaystyle p(x,y,z)}$이 주어졌다고 하자. 만약

• ${\displaystyle p}$가 ${\displaystyle x}$에 대하여 1차 이하이며,
• ${\displaystyle p(x,y,z)=0}$가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,

${\displaystyle p(x,y,z)=0}$는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리(영어: Macdonald principle)라고 한다.^{[1]:199, Theorem Ⅱ.5.1.1} 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

형식적 실수 요르단 대수

형식적 실수 요르단 대수(영어: formally real Jordan algebra)는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 ${\displaystyle A}$다.

임의의 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in A\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\neq 0}$이다.

분류

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.^[5] 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수(영어: simple Jordan algebra)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

• ${\displaystyle n\times n}$ 실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 ${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$이다.
• ${\displaystyle n\times n}$ 복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 ${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$이다.
• ${\displaystyle n\times n}$ 사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 ${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$이다.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$으로 생성되고 조건 ${\displaystyle x^{2}=\lVert x\rVert ^{2}}$을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 ${\displaystyle n+1}$차원 요르단 대수이며, 스핀 인자(영어: spin factor) 또는 클리퍼드형 대수(영어: Clifford-type algebra)라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
• ${\displaystyle 3\times 3}$ 팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 ${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$이다. 이를 예외 요르단 대수(영어: exceptional Jordan algebra) 또는 앨버트 대수(영어: Albert algebra)라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.

기호	실수 차원	이름	정의
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle n(n+1)/2}$	${\displaystyle n\times n}$ 실수 대칭 행렬 대수	${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle n^{2}}$	${\displaystyle n\times n}$ 복소 에르미트 행렬 대수	${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$
${\displaystyle \operatorname {H} (n;\mathbb {H} )}$	${\displaystyle n(2n-1)}$	${\displaystyle n\times n}$ 사원수 에르미트 행렬 대수	${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$
${\displaystyle \operatorname {JSpin} (n)}$	${\displaystyle n+1}$	스핀 인자 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle (r,\mathbf {u} )\bullet (s,\mathbf {v} )=(rs+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ,r\mathbf {v} +s\mathbf {u} )}$
${\displaystyle \operatorname {H} (3;\mathbb {O} )}$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {A} }$	27	앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)	${\displaystyle M\bullet N=(MN+NM)/2}$

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {H} (1;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (0)=\mathbb {R} \qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}$^{[5]:50, §12}

${\displaystyle \operatorname {H} (2;\mathbb {K} )=\operatorname {JSpin} (1+\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} )\qquad (\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} \})}$^{[5]:50, §13}

구체적으로,

${\displaystyle a_{-1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a_{0}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a_{i}={\begin{pmatrix}0&e_{i}\\-e_{i}&0\end{pmatrix}}\qquad (i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\})}$

로 잡으면,

${\displaystyle a_{i}\bullet a_{j}=\delta _{ij}1_{2\times 2}\qquad \forall i,j\in \{-1,0,1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} -1\}}$

임을 알 수 있다 (${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타).

예

자명한 요르단 대수

임의의 가환환 ${\displaystyle K}$에 대하여, 0차원 또는 1차원 ${\displaystyle K}$-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

결합 대수에 대응되는 요르단 대수

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 임의의 결합 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle x\bullet y={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

증명:

요르단 항등식을 증명하면 족하다.

${\displaystyle (x\bullet y)\bullet x^{2}=(xy+yx)x^{2}+x^{2}(xy+yx)=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}$

${\displaystyle x\bullet (y\bullet x^{2})=x(yx^{2}+x^{2}y)+(yx^{2}+x^{2}y)x=yx^{3}+xyx^{2}+x^{2}yx+x^{3}y}$

이는 ${\displaystyle K}$-결합 대수의 범주에서 ${\displaystyle K}$-요르단 대수의 범주로 가는 함자

${\displaystyle (-)^{+}\colon \operatorname {Assoc} _{K}\to \operatorname {Jord} _{K}}$

를 정의한다.

자유 요르단 대수

주어진 체 ${\displaystyle K}$위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수(영어: free Jordan algebra)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {Jord} _{K}\to \operatorname {Vect} _{K}}$

의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간이다.

하나의 원소 ${\displaystyle x}$로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 ${\displaystyle K[x]}$이다.

응용

요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.^[6]

역사

파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)

파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.^[5][7][8] ${\displaystyle X,Y}$가 에르미트 관측 가능량이라면 ${\displaystyle X\bullet Y=(XY+YX)/2}$ 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼(영어: Kevin McCrimmon)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.

“	요르단 대수의 이야기는 결합 법칙을 따르지 않는 곱 ${\displaystyle x\bullet y}$에 대한 이야기가 아니라, 가능한 한 결합 법칙을 최대한 따르는 이차 곱 ${\displaystyle U_{x}(y)}$에 대한 이야기이다. The story of Jordan algebras is not the story of a nonassociative product ${\displaystyle x\bullet y}$, it is the story of a quadratic product ${\displaystyle U_{x}(y)}$ which is about as associative as it can be.	”
	— [1]:8, §Ⅰ.0.2

같이 보기

• 요르단 삼항 대수