레비 분포

확률론과 통계학에서 폴 피에르 레비의 이름을 딴 레비 분포(영어: Lévy distribution)는 비음의 확률 변수에 대한 연속 확률 분포이다. 분광학에서는 종속 변수를 주파수로 하는 이 분포를 판 데르 발스 윤곽(영어: van der Waals profile)이라고 한다.^{[note 1]} 이 분포는 역감마 분포의 특수한 경우이다. 이는 안정 분포이다.

레비 (이동 없음)

[[확률 {{{종류}}} 함수]]
누적 분포 함수
매개변수	${\displaystyle \mu }$ 위치; ${\displaystyle c>0\,}$ 척도
지지집합	${\displaystyle x\in (\mu ,\infty )}$
확률 밀도	${\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$
누적 분포	${\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$
기댓값	${\displaystyle \infty }$
중앙값	${\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}$
최빈값	${\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}$
분산	${\displaystyle \infty }$
비대칭도	정의되지 않음
첨도	정의되지 않음
엔트로피	${\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}$ 여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 오일러-마스케로니 상수
적률생성함수	정의되지 않음

정의

도메인 ${\displaystyle x\geq \mu }$에 대한 레비 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}$

여기서 ${\displaystyle \mu }$는 위치 모수이고 ${\displaystyle c}$는 척도 모수이다. 누적 분포 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}$는 여오차 함수이고 ${\displaystyle \Phi (x)}$는 라플라스 함수(표준 정규 분포의 누적 분포 함수)이다. 이동 모수 ${\displaystyle \mu }$는 곡선을 ${\displaystyle \mu }$만큼 오른쪽으로 이동시키고 지지집합을 [${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \infty }$)로 변경하는 효과가 있다. 모든 안정 분포와 마찬가지로 레비 분포는 다음과 같은 속성을 가진 표준 형태 f(x; 0, 1)를 갖는다.

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}$

여기서 y는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}$

레비 분포의 특성함수는 다음과 같다.

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

특성 함수는 ${\displaystyle \alpha =1/2}$ 및 ${\displaystyle \beta =1}$인 안정 분포에 사용된 것과 동일한 형태로 작성될 수도 있다.

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}$

${\displaystyle \mu =0}$이라고 가정하면 이동되지 않은 레비 분포의 n차 모멘트는 공식적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}$

이것은 모든 ${\displaystyle n\geq 1/2}$에 대해 발산하므로 레비 분포의 정수 모멘트는 존재하지 않는다(일부 분수 모멘트만 존재한다).

모멘트 생성 함수는 공식적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}$

그러나 이것은 ${\displaystyle t>0}$에 대해 발산하므로 0 주변의 구간에서 정의되지 않으며, 따라서 모멘트 생성 함수는 실제로 정의되지 않는다.

정규 분포를 제외한 모든 안정 분포와 마찬가지로 확률 밀도 함수의 꼬리는 거듭제곱 법칙에 따라 감소하는 두터운 꼬리 분포 특성을 나타낸다.

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}$ ( ${\displaystyle x\to \infty }$일 때)

이는 레비 분포가 단순히 두터운 꼬리 분포일 뿐만 아니라 팻 테일 분포임을 보여준다. 이는 아래 다이어그램에 나타나 있으며, 여기서 다양한 c 값과 ${\displaystyle \mu =0}$에 대한 확률 밀도 함수가 양대수 그래프에 그려져 있다.

양대수 그래프에 표시된 레비 분포의 확률 밀도 함수

표준 레비 분포는 안정 조건, 즉 다음을 만족한다.

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}$

여기서 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$는 ${\displaystyle \alpha =1/2}$를 갖는 독립적인 표준 레비 변수이다.

관련 분포

• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$이면, ${\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc)}$.
• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$이면, ${\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}$ (역감마 분포). 여기서 레비 분포는 피어슨 V형 분포의 특수한 경우이다.
• ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ (정규 분포)이면, ${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2})}$.
• ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/c)}$이면, ${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$.
• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$이면, ${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}$ (안정 분포).
• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$이면, ${\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}$ (척도 역카이제곱 분포).
• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$이면, ${\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}$ (접힌 정규 분포).

무작위 샘플 생성

레비 분포의 무작위 샘플은 역변환 샘플링을 사용하여 생성할 수 있다. 단위 구간 (0, 1]에서 연속균등분포에서 추출된 무작위 변량 U가 주어졌을 때, 다음으로 주어지는 변량 X는^[1]

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

위치 ${\displaystyle \mu }$와 척도 ${\displaystyle c}$를 가진 레비 분포를 따른다. 여기서 ${\displaystyle \Phi (x)}$는 표준 정규 분포의 누적 분포 함수이다.

응용

• 지구자기역전의 빈도는 레비 분포를 따르는 것으로 보인다.
• 브라운 운동이 시작점으로부터 거리 ${\displaystyle \alpha }$에 있는 한 점에 도달하는 도달 시간은 ${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$인 레비 분포를 따른다. (드리프트가 있는 브라운 운동의 경우, 이 시간은 역가우스 분포를 따를 수 있으며, 이는 레비 분포를 극한으로 갖는다.)
• 탁한 매질에서 광자가 따르는 경로의 길이는 레비 분포를 따른다.^[2]
• 코시 과정은 레비 분포와 관련된 과정에 부분적분된 브라운 운동으로 정의될 수 있다.^[3]

내용주

1. "van der Waals profile" appears with lowercase "van" in almost all sources, such as: Statistical mechanics of the liquid surface by Clive Anthony Croxton, 1980, A Wiley-Interscience publication, ISBN 0-471-27663-4, ISBN 978-0-471-27663-0, ; and in Journal of technical physics, Volume 36, by Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), publisher: Państwowe Wydawn. Naukowe., 1995,